23.Задача выбора кратчайшего пути (постановка и метод решения)

Постановка: пусть имеется сеть дорог, на кот указан пункт отправления А и пункт назначения В. М/у этими пунктами имеются промежуточные пункты. Некоторые из них соединены м/у собой. Над каждым участком сети представлены цифры, кот могут указывать расстояние м/у данными пунктами или стоимость доставки груза. Требуется найти кратчайший маршрут из пункта А в В (или маршрут мин стоимости). Рассмотрим решение таких задач на конкретном примере:

Соединяем эти пункты

1. Решение: разбиваем решение задачи на этапы: С этой целью разобьем все пункты транспортной сети на группы: к 1 группе отнесем пункт 1. Вычеркиваем все работы выходящие из пунктов 1 группы. Ко 2 группе мы отнесем те пункты, в кот теперь не входит ни одна работа(2,4,3).1:1. 2:2,4,3. 3:4, 5, 6. 4:7, 8, 9. 5:10.

В рез-те движения транспорта по данной сети м/рассм, как 4-х массовый процесс:

1-2-3-4-5.

2. Условная оптимизация. Двигаем от пункта В в пункт А, для каждого из промежут. пунктов определим кратчайший путь от этого пункта до пункта В и запишем длину этого пути рядом с соотв. пунктом. Сначала будем рассм пункты 4,3,2,1 группы. Получим, что длина кратчайшего пути = 11

3. Безусловная оптимизация. Двигаясь от пункта А в пункт В (в прямом направлении) по найденным на 2 этапе значения, определим пункты кратчайшие пути. L=(1,3,5,7,10)

При решении задач методами динамич прогр-я часто получ побочные рез-ты, связанные с рассмат задачей и имеющие не меньшее значение, чем осн рез-ат. В данном примере кроме оптим маршрута из пункта А в В, содер. информ, кот получена в ходе решения, позвол. находить наиболее эконом маршрут из любого пункта данной сети в пункт В.

27. Пф темповой записи.

На ряду со связями объемных пок-ей выпуска и затрат рес-са рассм-ся связи м/ду темпами прироста этих пок-ей. Рассм. макроэконом. факторную произв. ф-цию У = f (К;L) и темпы прироста величин у, К, L.

Пример: Рассм. связь ПФ Кобба-Дугласа в объемной и темповой записи.

В объемной: У = АК₁ ^L L_t^Bl^jt

Прологарифмируем ф-цию Кобба-Дугласа, считая К и L непрерывными и дифференцируемыми.

lnУ_t = lnА + alnKt + blnLt + jt

Возьмем от данного выражения полный диф-ал.

d (ln Уt) = d(lnA) + ad(lnКt) + bd (lnLt) + jdt = 0

У^{`</sup><sub>t</sub> + dt = aК<sup>`}_tdt + bL^`_tdt + jdt

Уt Кt Lt

У^{`</sup><sub>t</sub> = aК<sup>`}_t + bL^`_t+ j

Уt Кt lt

Уt = У^{`</sup><sub>t</sub>; Кt = К<sup>`}_t; l_t = L^`_t; у_t = aкt + bl_t +j

Уt Кt Lt

темповая запись произв. ф-ции Кобба-дугласа

24.Производственные функции, области использования, однофакторная и многофакторная производственная функция.

Производственная функция- это модель, по кот описыв. технолог зависимость м/у рез-ми деятельности произ-го объекта к затратам фактора производства. Произв. ф-ия – это экономико-мат. уравнение, связыв. переменные величины затрат ресурсов с величинами выпуска прод-ии. Матем-ки, произ-я ф-ия – это ф-ия, независимые перемен х₁,х₂…х_n кот принимают значение V затрачив. рес-в, а знач. ф-ии имеет смысл величины V вып-ка.

Y=f(x₁;x₂…x_n)*

Произв. ф-ия * назыв. много факторной, где фак-ры x₁,x₂…x_n>=0, а y – скалярная величина.

Произв. ф-ия y=f(x₁)- назыв однофакторной или однорес-ой.

ОБЛАСТИ ИСПОЛИЗОВАНИЯ ПРОИЗ Ф-ИИ:

Произв. ф-ии имеют различные области использ: принцип затраты-выпуск м. б. реализован как на микро так и макро уровне:

1. микроэк уровень. В роли произв. с-мы здесь м/выступать отд. ПП, отрасль, межотрасл произв. комплекс, тогда произв. ф-ия, описыв взаимосвязь м/у величиной затрачив рес-са в течение года. Например, на отд. ПП и годовым выпуском, прод-ии этого ПП назыв микроэк произв. ф-ии использ для решения задач анализа и планиров, реже для решения задач програм-ия.

2. макроэк. уровень. Произв. ф-ия м.б использ для описания взаимосвязи м/у годовыми затратами труда в масштабе района или страны с годовыми конечным выпуском некот прод-ии этого района. Здесь, в роли произв. с-мы выступает страна или район в целом и мы имеем макроэк произв. ф-ию. Макроэк произв. ф-ия строится и активно использ для решения 3 типов задач: анализа, планиров, прогнозиров.

Рассмотрим однофакторную произв. ф-ию:

f(x)=f*x^b, x- некоторый ресурс, y - выпуск прод-ии. (a,b)-вектор произв. ф-ии.a>=0;

0<=b<=1.

Рассм двухфак-ую произв. ф-ию:

Y=f(x₁;x₂).Эта произв. ф-ия определена для x₁>=0;x₂>=0; для удовлетв-ия след ряда свойств (для каждой произв. ф-ии своему)

1. f(0;0)=0- без ресурсов нет выпуска. При отсут одного рес-са выпуска нет.

f(x₁;0)=f(0;x₂)=0

2.если x(1)>=x(0), x(1)=x(0),то f(x(1))>=f(x(0)), т.е с ростом затрат хотя бы одного ресурса выпуск прод-ии растет

1. x>0, то f(x)/xi>0; i>1,2

С ростом затрат 1-го ресурса при неизмен кол-ве 2, V вып-ка растет.

3. x>0 ,то ²f(x)/x²<=0, т.е с ростом затрат одного ресурса при неизмен кол-ве другого вел-на прироста вып-ка на каждую дополн един i –го рес-са не увеличив (з-он убыв эф-ти)

   1. x>0, то ²f(x)/x1;x2>=0

4.f(tx₁;tx₂) = t^pf(x₁;x₂)-произв. ф-ия явл. однородной