- •Билет №1. Доказать теорему Ролля.
- •Определена и непрерывна на отрезке .
- •1) Пеано
- •1) Пеано
- •Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.
- •Билет №5. Доказать второе достаточное условие экстремума.
- •Вывести уравнение наклонной асимптоты.
- •Билет №6. Доказать необходимое условие возрастания дифференцируемой функции.
- •Предел числовой последовательности. Сформулировать признак сходимости монотонной последовательности. Доказать теорему о единственности предела.
- •Билет №7. Доказать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.
- •Вывести 1 замечательный предел:
- •Билет №8-1. Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.
- •Билет №8-2. Векторная функция скалярного аргумента: и её производная. Касательная к пространственной кривой. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины.
- •Билет №9-1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранджа.
- •Дифференциал функции – определение, геометрический смысл. Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка.
- •Билет №11. Доказать второе достаточное условие экстремума.
- •Доказать теорему о пределе произведения функций.
- •Билет №12. Доказать достаточное условие выпуклости графика функции.
- •Доказать теорему о знакопостоянстве функции, имеющей отличный от нуля предел.
- •Билет №13. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции. Доказать необходимое условие.
- •Определена и непрерывна на отрезке .
- •Дифференцируема на интервале .
- •И на концах отрезка принимает одинаковые значения.
- •Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.
- •Билет №21. Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.
- •1) Пеано
- •Сформулировать определение функции, непрерывной на отрезке. Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
- •Билет №22. Доказать первое достаточное условие экстремума функции.
- •Вывести 1 замечательный предел:
- •Билет №23. Доказать второе достаточное условие экстремума.
- •Вывести уравнение касательной и нормали к плоской кривой.
- •Билет №24. Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.
- •Вывести формулу для производной частного от деления двух функций.
- •Билет №25. Доказать первое достаточное условие экстремума функции.
- •Сформулировать определение функции, непрерывной на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •Билет №26. Доказать теоремы Ролля и Ферма.
- •1. Определена и непрерывна на отрезке .
- •2. Дифференцируема на интервале .
- •3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения.
- •Второе достаточное условие существования точки перегиба.
- •Определение б.Б. Функций. Теорема об их связи с б.М. Функциями.
- •Билет №28. Доказать достаточное условие выпуклости графика функции.
Билет №1. Доказать теорему Ролля.
Пусть дана функция .
Определена и непрерывна на отрезке .
Дифференцируема на интервале .
И на концах отрезка принимает одинаковые значения. .
Тогда найдется, по крайней мере, 1 , принадлежащая интервалу .
Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.
, ,
, .
Случаи:
, - любое из интервала
в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке интервала .
Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале в любой точке, то по теореме Ферма существует .
Доказать теорему о предельном переходе в неравенстве.
Пусть при имеет конечный предел А1, при имеет конечный предел А2, и существует : для , тогда .
Доказательство:
,
,
Пусть
Это неравенство выполняется для любого , отсюда
Билет №2.
Доказать теорему Лагранжа.
Пусть функция .
Определена и непрерывна на отрезке .
Дифференцируема на интервале .
Тогда существует из интервала .
Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию , где - константа.
Она непрерывна на
дифференцируема на .
Все условия теоремы Ролля выполняются существует из
Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.
, где
1) Пеано
2) где - Лагранж
3) - Коши
, , ,
, т.к. sin x - нечет., то вып. усл.:
Билет №3.
Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.
, где
1) Пеано
2) где - Лагранж
3) - Коши
, , ;
Сравнение на бесконечности роста показательной, степенной и логарифмических функций.
1) , где s>0, x>0; .
2) ; ; = ; .
3) (по транзитивности)
Билет №4.
Доказать первое достаточное условие экстремума функции.
Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.
Доказательство: Рассмотрим точку X из указанной окрестности, тогда:
на - непрерывна.
на - дифференцируема.
По т. Лагранжа , где , т.к. , то
на : где ,
Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.
Для того, чтобы функция , определённая в имела конечный предел при , необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и б.м.ф. при ( , где - б.м.ф. при ).
Доказательство: I Необходимость:
Дано:
Доказать: , где - б.м.ф. при .
Пусть по определению б.м.ф - б.м.ф. при .
II Достаточность:
Дано: , где - б.м.ф. при .
Доказать:
Билет №5. Доказать второе достаточное условие экстремума.
Пусть функция определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а n-ая производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если , то x=c – локальный минимум, если , то x=c – локальный максимум.
Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С.
, где - б.м.ф. при . Пусть n – четное, тогда не меняет знак при переходе через С. в которой функция сохраняет знак своего предела. , . . , если - точка локального экстремума.