- •Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •I. Двойной интеграл
- •§1. Понятие двойного интеграла
- •1. Квадрируемые фигуры и их площади
- •2. Задача об объёме цилиндрического бруса
- •3. Определение двойного интеграла
- •4. Геометрический смысл двойного интеграла
- •5. Ограниченность интегрируемой функции
- •§2. Условия существования двойного интеграла
- •1. Нижняя и верхняя суммы Дарбу
- •2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •3. Интегрируемость непрерывной функции
- •§3. Основные свойства двойного интеграла
- •§4. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
- •1. Повторные интегралы
- •2. Вычисление двойного интеграла
- •§5. Замена переменных в двойном интеграле
- •1. Отображение плоских областей
- •2. Площадь в криволинейных координатах
- •3. Замена переменной в двойном интеграле
- •4. Двойной интеграл в полярных координатах
- •§6. Приложения двойного интеграла
- •1. Площадь поверхности
- •2. Физические приложения двойного интеграла
- •II. Тройной интеграл
- •§1. Определение тройного интеграла и условия его существования
- •1. Кубируемое тело и его объем
- •2. Задача о вычислении массы тела
- •3. Определение тройного интеграла
- •4. Условия существования тройного интеграла
- •§2. Вычисление тройного интеграла
- •1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному
- •2. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
2. Площадь в криволинейных координатах
Пусть система (1) взаимно однозначно отображает замкнутую область G плоскости UOV на замкнутую область D плоскости XOY. Предположим, что функции и непрерывны вместе со своими частными производными на G. Предположим, что G и D квадрируемы.
Задача. Выразить площадь области D с помощью криволинейных координат u, v.
Р азобьем область G на частичные области прямыми, параллельными осям Ou и Ov. Тогда область D разобьётся в силу преобразования (1) на криволинейные четырёхугольники. Рассмотрим внутренний элементарный прямоугольник в плоскости UOV с вершинами в точках
(u,v>0).
Ему соответствует элементарный криволинейный четырёхугольник в плоскости XOY с вершинами
.
Найдём его площадь .
Если u и v достаточно малы, то дуги тоже малы, следовательно, их приблизительно можно считать прямолинейными. Кроме того, приращения функций x(u;v), y(u;v) приблизительно заменим их дифференциалами. Тогда
.
Аналогично,
,
, .
А также
,
,
.
Тогда приблизительно координаты вершин четырёхугольника ABCD:
,
, .
(Здесь для краткости: x(u;v)=x, y(u;v)=y, все производные вычислены в т. (u;v)).
Из координат видим, что проекции отрезков AB и CD на обе оси координат соответственно равны, следовательно, AB║CD. То же можно сказать и об отрезках AD и BC: AD║BC. Значит, приближенно ABCD – параллелограмм.
.
Из геометрии известно, что , где :
, где .
По этой формуле получим:
.
Обозначим .
Этот определитель называется якобианом. Следовательно,
. (3)
Выражение в правой части называется элементом площади в криволинейных координатах.
Учитывая, что , из формулы (3) получим .
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше . Следовательно, если u0 и v0, то .
Величина |I(u;v)| показывает, во сколько раз увеличивается или уменьшается элемент площади в окрестности точки (u;v) плоскости UOV при отображении её в окрестность соответствующей точки (x;y) плоскости XOY. Другими словами, абсолютная величина якобиана – это коэффициент растяжения области G в данной точке (u;v) при её отображении на область D.
Просуммировав теперь площади всех элементарных четырехугольников, из (3) получим
. (4)
Это равенство тем точнее, чем мельче разбиение области G (а, следовательно, и области D). Переходя к пределу при и , получим точное равенство. Сумма в правой части равенства (4) является интегральной суммой для двойного интеграла , из которой выброшены слагаемые, отвечающие участкам, не являющимся прямоугольниками. Но сумма площадей этих участков становится сколь угодно малой, если разбиение делать более мелким. Следовательно, переход к пределу в (4) даёт точную формулу
. (5)
Вычислим якобиан при переходе к полярным координатам:
.
Следовательно, площадь D при переходе к полярным координатам равна:
.
3. Замена переменной в двойном интеграле
Теорема. Пусть дан двойной интеграл , где функция f(x;y) непрерывна в замкнутой квадрируемой области D. Пусть система
(1)
задаёт взаимно однозначное отображение замкнутой квадрируемой области G плоскости UOV на замкнутую квадрируемую область D плоскости XOY. Предположим, что функции и непрерывны вместе со своими частными производными на G. Пусть так же |I(u;v)|0 на D. Тогда справедлива формула замены переменных
. (6)
Доказательство.
Так как функции f, , и частные производные функций и непрерывны, то существуют оба интеграла в формуле (6). Необходимо доказать это равенство.
По определению двойного интеграла
, (7)
( - диаметр разбиения), причём этот предел не зависит от способа разбиения области D на частичные области Dk и от выбора точек (xk;yk) Dk. Обозначим .
Разобьём область G на частичные области . Так как (1) взаимно однозначно отображает G на D, то область D разобьётся на частичные области . По формуле (5) площадь области Dk равна:
.
По теореме о среднем значении двойного интеграла на каждой частичной области найдется точка (uk;vk), такая, что
.
Обозначим образ т. (uk;vk) при взаимно однозначном отображении (1) через (xk;yk), то есть
Тогда сумма в правой части равенства (7) равна
. (8)
Эта сумма является интегральной суммой для функции .
Если диаметры всех частичных областей Gk стремятся к нулю, то в силу непрерывности функций и диаметры частичных областей Dk тоже стремятся к нулю. Обозначим , . Если , то и . Переходя в (8) к пределу при , получим (6).
Замечание. Формула (6) справедлива и в том случае, если взаимно однозначное отображение (1) нарушается в отдельных точках или на отдельных кривых площади нуль.