Исследование на плоскости уравнения второй степени
Рассмотрим уравнение:
где среди коэффициентов есть отличные от нуля, т.е. (7.9) – уравнение второй степени относительно и .
Возьмем на плоскости две прямоугольные системы координат: , которую будем называть старой, и новую, полученную из поворотом ее вокруг начала координат на угол , .
Старые координаты выражаются через новые координаты по формулам:
Подставив выражения для и в уравнение (8), получим:
Это уравнение в системе координат задает ту же линию, что и уравнение (7. 9) в системе .
Если в уравнении (7.9) , то за счет выбора угла в (7.10) можно добиться того, что . Для этого угол надо взять таким, чтобы . Поэтому будем считать , тогда уравнение (7.11) примет вид:
Преобразуя это уравнение и применяя параллельный перенос координатных осей, придем к уравнению:
Параллельный перенос и поворот системы координат на плоскости.
Мы рассматриваем прямоугольную декартову систему координат. При параллельном переносе системы координат сохраняется направление координатных осей, но меняется положение начала координат .
Пусть Оху - "старая" система координат, а О'х'у' - "новая" система координат. Пусть произвольная точка Мимеет координаты (х, у) в "старой" системе, и она же имеет координаты (х', y')в новой системе, кроме того, пусть новое начало O' имеет координаты (а, b) в "старой" системе (рис. 12).
Тогда
Т.к. при параллельном переносе осей координат базис не меняется, то при сложении векторов можно складывать их координаты.
Следовательно, имеем
Формулы (42) есть формулы перехода, связывающие "старые" и "новые" координаты.
Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду.
Укажем, как можно с помощью преобразований координат, рассмотренных в предыдущем параграфе, привести общее уравнение кривой второго порядка к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы или параболы, или к случаям их выражения.С помощью поворота осей координат на некоторый угол α всегда можно избавиться от члена с произведением координат. Действительно, подставляя в (47) вместо x и y их выражения по формуле (43), получим новое уравнение коэффициент которого a'12 будет равен
Приравнивая коэффициент a'12 к нулю, получим тригонометрическое уравнение Отсюда получаем Далее, по формулам тригонометрии, получаем нужные нам значения для sin α и cos α : Следовательно, уравнение кривой в новых координатах O'x'y' примет вид: Если в уравнении (50) , то говорят, что это уравнение определяет линию эллиптического типа; если же , то говорят, что уравнение определяет линию гиперболического типа и, если один из коэффициентов a'11 или a'22 равен нулю, то уравнение (50) определяет линию параболического типа. Далее с помощью параллельного переноса системы координат O'x'y' уравнение (50) всегда можно привести к виду: т.е. фактически к каноническому виду.
Из уравнения (51) следует, что мы имеем либо эллипс (если a'11 и a'22 одного знака, а a"0противоположного), либо мнимое место точек (если a'11, a'22, a"0 имеют один знак), либо одну точку (если a'11 и a'22 имеют один знак, а a"0 = 0), либо гиперболу (если a'11 и a'22 разных знаков и a"0 ≠ 0), либо две пересекающие прямые (если a'11 и a'22 разных знаков и a"0 = 0). Если же в уравнении (50) один из коэффициентов a'11 и a'22 , например, a'22 обращается в нуль, то это уравнение с помощью переноса осей приведется к каноническому уравнению параболы при a'22 ≠ 0 или к виду при a'22 = 0, что дает или две параллельные прямые, или мнимое место точек.
Отсюда следует, что всякая кривая 2-го порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо представляет собой их "вырождение".