Совместный закон распределения был найден ранее
(X,Y) |
(1,1) |
(1,2) |
(2,1) |
(2,2) |
P |
1/10 |
3/10 |
3/10 |
3/10 |
Для
упрощения вычислений введем случайные
величины
и
. По первому
свойству коэффициента корреляции имеем
.Совместный
закон распределения величин
может быть легко получен из закона
распределения
(X1,Y1) |
(0,0) |
(0,1) |
(1,0) |
(1,1) |
P |
1/10 |
3/10 |
3/10 |
3/10 |
Законы
распределения
и
могут быть
также легко получены по свойствам
вероятностей
:
,
.
,
.
Тогда
,
,
.
Окончательно имеем
,
.
◄
5.
Биномиальный закон распределения
дискретной случайной величины. Закон
распределения дискретной случайной
величины Х,
которая может принимать n+1
значение 0,1,2,…,n,
описываемый формулой Бернулли
,
называется биномиальным.
Запишем биномиальный закон в виде
таблицы
Х |
0 |
1 |
2 |
… |
n |
Р |
|
|
|
… |
pn |
Определим числовые
характеристики биномиального
распределения. Пусть Х
– число появлений события А
в n
испытаниях. Если обозначим через Xk
– число появлений события А
в k-ом
испытании, то
.
Закон распределения случайной величины Xk имеет вид
Xk |
0 |
1 |
Р |
q |
P |
Легко видеть, что M[Xk]=p, D[Xk]=pq. Тогда для случайной величины Х
.
.
.
Пример. Предприятие выпускает 90% изделий высшего сорта. Составить закон распределения случайной величины Х – числа изделий высшего сорта из трёх взятых наудачу изделий. Найти M(X), D(X), (Х).
Решение: Случайная величина Х – число изделий высшего сорта среди трёх отобранных изделий может принимать одно из значений: 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:
.
Известно, что n
= 3 ; p
= 0,9; q
= 0,1; k=
0,1,2,3, тогда
P1(X=0) = (0,1)3 = 0,001.
P2(X=1) = C31 ∙ 0,91 ∙ 0,12 = 0,027.
P3(X=2) = C32 ∙ 0,92 ∙ 0,1 = 0,243.
P4(X=3) = 0,93 = 0,729.
Проверка:
Р= Р3(Х=0)+Р3(Х=1)+Р3(Х=2)+Р3(Х=3)= 0,001+0,027+0,243 +0,729 = 1.
Закон распределения случайной величины Х:
-
X
0
1
2
3
P
0,001
0,027
0,243
0,729
M(X), D(X), (X) случайной величины, распределённой по биноминальному закону, находятся по формулам:
M(X)
= np , D(X) = npq ,
(X) =
.
M(X)
= 3 ∙ 0,9 = 2,7; D(X)
= 3 ∙ 0,9 ∙ 0,1 = 0,27;
(X)
=
= 0,53.
◄