6.1.1. Центр
Если характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных мнимых корня, то особая точка называется центром.
Такая ситуация возникает, если коэффициенты уравнения6164
. 1716171\* MERGEFORMAT (.)
В этом случае характеристическое уравнение имеет вид
Оглавление
, 1726172\* MERGEFORMAT (.)
а его корни
. 1736173\* MERGEFORMAT (.)
Уравнение 6170 фазовых траекторий
1746174\* MERGEFORMAT (.)
имеет интеграл
1756175\* MERGEFORMAT (.)
который определяет семейство фазовых траекторий уравнения 6172. Из формул 6175 видно, что, фазовые траектории в случае центра представляют собой семейство эллипсов с полуосями, зависящими от начальных условий, и равными соответственно
1766176\* MERGEFORMAT (.)
Фазовые кривые в случае центра приведены на рисунке 1.
Особая точка типа центр является устойчивой особой точкой. Всегда можно подобрать такие начальные условия для координаты и скорости, что в дальнейшем траектория не выходит за пределы сколь угодно малой окрестности особой точки.
Рис. 1 Фазовый портрет центра
Оглавление
Решение уравнения 6164 в случае 6171 имеет вид
, 1776177\* MERGEFORMAT (.)
то
есть, представляет собой гармонические
колебания. Графики зависимости
для различных начальных условий приведены
на рисунке 2.
Константы
в формулах Error: Reference source not found зависят
от начальных условий. Период колебаний
и, соответственно, время, за которое
изображающая точка обойдет начало
координат по замкнутой кривой, одинаково
для всех траекторий и равно
.
Рис.
2 Зависимость
в случае особой точки типа центр
6.1.2. Устойчивый фокус
Если характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня с отрицательной действительной частью, то особая точка называется устойчивым фокусом.
Это возможно, если коэффициент
. 1786178\* MERGEFORMAT (.)
а
дискриминант
квадратного
уравнения отрицателен
Оглавление
1796179\* MERGEFORMAT (.)
Фазовые траектории для этого случая имеют вид закручивающихся по часовой стрелке спиралей и приведены на рисунке 3. Решение уравнения 6164 при выполнении условий 6178 и6179 будет
1806180\* MERGEFORMAT (.)
Графики
зависимости
для различных начальных условий приведены
на рисунке 4. Константы
в формулах 6180 зависят от начальных
условий. Период колебаний, (если так его
можно назвать в уже, вообще говоря,
непериодическом движении), и, соответственно,
интервал между двумя последовательными
моментами времени попадания траектории
на положительную полуось
для всех траекторий одинаков и равен
.
Устойчивый фокус является асимптотически устойчивой особой точкой.
Рис. 3 Фазовый портрет устойчивого фокуса
Оглавление
Рис. 4 Зависимость в случае устойчивого фокуса
6.1.3. Неустойчивый фокус
Если характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня с положительной действительной частью, то особая точка называется неустойчивым фокусом.
Это возможно, если дискриминант квадратного уравнения отрицателен
1816181\* MERGEFORMAT (.)
а коэффициент
. 1826182\* MERGEFORMAT (.)
Фазовые траектории для этого случая имеют вид раскручивающихся спиралей и приведены на рисунке 5. Решение уравнения 6164 в этом случае дается 6180. Графики зависимости для различных начальных условий приведены на рисунке 6.
Оглавление
Неустойчивый фокус является неустойчивой особой точкой. Как бы близко к началу координат ни начиналась фазовая траектория, она непременно уйдет сколь угодно далеко от начала координат.
Рис. 5 Фазовый портрет неустойчивого фокуса
Рис. 6 Зависимость в случае неустойчивого фокуса
Оглавление