31. Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение случ. величины Х от ее мат. ожидания по абсол. величине < положит. числа не меньше, чем :

.

Док-во:

M(Y)=D(X)

.

.

.

.

Неравенство имеет для практики огр. значение, поскольку часто дает грубую или иногда тривиальную оценку. В теории исп-ся для вывода Т. Чебышева.

32. Теорема Чебышева и её следствия

Т. При неограниченном увеличении числа n попарнонезавис. случ. величин имеющих M(X) и равномерноогр. D(X), их ср. арифмет. стремится по вер-сти к ср. арифмет. их матем. ожиданий.

Следствия: Пусть случ. величины имеют равные мат. Ожидания (i= 1, 2, …n) и равномерногр. . Тогда ср. арифмет.

Если случ. величины попарно независ. И одинаково распред-ны, то ср. арифмет. ,

33. Теорема Бернулли. Значение збч

Если вер. Р – наступление соб. А в каждом из n повторнонезавис. испытаний постоянно, то при относит. частота появление соб. А стремится к Р при . К – число наступления соб. А в n повт. независ. испытаний как сумму попарнонезавис. , где имеет распределение

x	0	1
p	p	q

0 – соб. А ненаступило, 1 – наступило

,

При подстановке получаем

, , при

Если , то правая часть стремится к 1, но вер-сть не может быть > 1, значит , что треб-ость доказать.

ЗначениеЗБЧ:

1 в физике-пос-во давления газа

2 в статистике-основа выбора метода

3 в страховании-основанно на устойчивых таблицах смертности

34 Понятие о центральной предельной теореме (ЦПТ) и ее следствиях.существуют несколько форм ЦПТ. В них утверждается факт, что если случ.велич. х является результатом суммарного воздействия многих случайных величин, влияние каждой из которых на сумму ничтожно мало, то эта суммарная величина имеет нормальный закон растпеделения. Центральная предельная теорема (ЦПТ) ( в формулировке Ляпунова А.М. для одинаково распределенных СВ). Если случ.вел-ны имеют конечные мат.ожидания и дисперсии и абсолютные центральные моменты где и выполняется усл-е Ляпунова =0, то случ.вел. Х= с достаточной степенью точности распределена по норм-му закону с параметрами .

Если случ.вел-ны распределены точно по норм-ну закону, то их суммы имеют точно норм-е распределение.

Если все величины распределены одинаково,то усл-е Ляпунова выполняется автоматически и значит сумма случайных величин с достаточной степению точности имеет норм-е распр-е.

Примеры из практики:1)ошибки измерений:случ.вел.кот распределена по норм.закону.2)нагрузка потребительских сил.3)биометрические показатели.

35Предмет и задачи мат статистики, ген и выборочная совокупности, способ отбора.Мат стат-раздел математики, изучающий методы отбора, систематизации и обработки результатов наблюдений, массовых случ явлений с целью выявления существующих закономерностей. Она возникла как наука в нач 17в. В работах Галелея, кот. Исследовал ошибки физич. измерений, рассматривая их как случ-е явления. Затем создается теория страхования,основанная на анализе таких массовых случ. явлений как рождаемость и смертность.19в – матем.стат.как отдельная наука(Кетле,Гальтон,Пирсон)

Задачи:1-указание способов сбора и группировки стат сведений (описательная статистика) 2-разработка методов анализа стат данных а) оценка вероятности события б)функции распределения в) зависимость случ величины от других величин г) проверка стат гипотез. Ген сов-ть – сов-ть объектов, все элементы кот подлежат изучению; м.б. конечной/бесконечной. Выборочная сов-ть часть объектов ген сов-ти используемая для исследования. Способы отбора: 1)простой случайный бесповторный, когда кажд элемент, случайно отобранный исследователем, не возвращается в ген сов-ть 2)простой случайный повторный отбор, когда элемнт возвращается в ген сов-ть. Выборка должна быть репрезентативной. т.е. правильно отражать пропорции генер-й сов-ти. Для этого каждый элемент ген.совокупности должен иметь одинак. вер-ть попасть в выборку.

36 Построение дискретного вариационного ряда. Эмпирическая ф-ия распределения.Случ.вел. Х носит дискретный хар-р или кол-во признака Х. Дан ряд чисел. Вначале он ранжируется, т.е. располагаются по возрастанию. Различные элементы выборки наз-ся вариациями. Частотой варианта наз-ся число , показывающее скоко раз эта вар-та встречается в выборке. Частостью (относит-ой частотой) наз-ся число . Частости и частоты наз-ся весами. Накопленной частотой наз-ся число n = кол-ву вариант знач-е кот меньше х. аналогично опр-ся накопленная частота. . Ряд вариант, расположенный в порядке возраст-я вместе с соотв. весами наз. стат. рядом частот или частостей.

Для графического изображения ДВП используют: 1) точечную диаграмму(строится по координатам (хi;ni)). 2)полигон(соединить точки). 3) кумулята (ломанная, кот соединяет точки с координатами (хi;mхi) )(кумуляц-я кривая).

Эмпирической ф-ей распр-я наз. где - число вариант меньшее, чем х. { св-ва:1) принадлежит [0;1]. 2) неубывающая. 3) при х . 4) при х .

Простейшие числ. хар-ки вариац. ряда: 1)R – размах вар-ции Хмакс-Хмин. 2)М – мода, имеет наибольшую частоту.3) Ме – медиана, число, слева и справа от кот нах-ся одинак. число вариант, может попадать/не попадать в ряд. если ДВР содержит четн число вариант, то Ме= .

40.Оценка парам-в генер.сов-ти.Пон.точеч.оценки и её св-ва:несмещ-ть,состоят-ть,эффективность. Выбор.хар-ка,использ-я в кач-ве приближ-го знач.неизвестной хар-ки наз её точеч.статист.оценкой. Напр., (выборочная) оценка М(Х). х—суммарный балл в летней сессии. Оценка наз.точечной, пот.что предст.собой число—точку на числовой прямой. Слово «статистич-я» означ.,что оценка рассчит.по результ-м выборки(стат-ки). Тогда становится понятно,что точеч.статист.оценка явл.СВ,т.к.элементы выборки случ-е. Тогда м.говорить о М(Х) и D(Х) самой стат-ой оценки. Стат.оценка наз-ся несмещённой,если её М(Х) равно оценив-му интерв.парам-ру. Стат.оценка наз-ся состоятельной,если она стремится по вер-ти к оцениваемому парам-ру, т.е.с повышением объёма выборки оценка и чел.хар-ка отлич-ся сколь угодно мало. Если есть неск-ко способ.получения точеч.оценки,то эффект-й наз.та, кот.имеет наим возможную дисперсию среди всех оценок.

41.Точеч.оценки математич.ожидания и дисперсии.Устойчивость выборочных средних.Исправленная выбороч.дисперсия. Теорема.Выборочная ср.арифметич.явл.несмещённой оценкой генер.ср.арифметич-й. М )= Пусть из генер.совок-ти,в кот.изм-ся конечн.признак Х извлечена выборка объёмом n. (конкрет.реализация выборки) Вычислим ср.арифмет.: . Понятно,что вместо м.быть любое значение из возможных знач-й Х. То же самое для и т.д., поэтому , ,…, это случ.величины,кот.распределены так же, как и вся генер.совок-ть:М( )=M( )=…=M( )=M(X)= . Т.к.СВ —независ-е, то применяя св-во мат.ожид.выборочной средней, получ: М( )=М( )= M( )= (M( )+M( )+…+M( ))= (M(X)+M(X)+…+M(X))= *M(X)=M(X). В доказ-ве предполаг,что выборка повторная. Замечание:из Т.Чебышева след,что выборочная средняя явл.и состоятельной оценкой ген.средней. Теорема.Обр.св-во уст-ти выборочной средней состоит в след:если из генер.сов-ти сделать неск-ко выборок достат.больш.объёма, то выборочные средние будут приблизит.равны м-у собой. Исправленная выборочн.дисперсия:

42.Интерв-е оценки парам-в.Построение доверит.интерв.для генер.средней по выбороч.средней.Объём повторной и бесповт.выборок.Интерв.оценкой параметра Ѳ наз-ся интервал (α,β), кот.с заданной вероятностью γ накрывает неизв.значение параметра Ѳ. Такой интерв.(α,β)наз-сядоверит-м интерв., а вероятность γ—доверит.вероятностью,или уровнем надёжности. --∆< Ѳ < +∆. Наибольш.отклонение ∆ выбороч-го значения парам-ра от его истинного знач-я наз-ся предельн.ошибкой выборки.Доверит.интервал ур-ня надёжности γ для генер.средней ɑ имеет вид: -∆<ɑ< +∆, где ∆--предельная оштбка выборки, завис.от γ. Объём выборки n опред-ся ур-ем надёжности γ и предельн.ошибкой ∆. Объём повтор-й выборки n= , бесповторной— n= .