Глава 2. Вызначаны інтэграл

§1. Раўнамерная непарыўнасць функцыі

Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце х_о мноства Х, г.зн. (xX)(x  x_o)f(x)  f(x_o) . (1)

Вядома, што  залежыць ад выбара ліку . Але можна паказаць, што  залежыь і ад выбар пункта х_о,у якім азначана непарыўнасць функцыі f (самастойна “К.мат.ана.”, т.1, гл.IY, §12).

Узнікае пытанне: ці існуе непарыўная на прамежку Х функцыя , для якой для кожнага  > 0 можна знайсці адпаведнае  > 0, якое бы не залежыла ад зменнай х, г.зн. адно і тояжа для ўсіх пунктаў х  Х ?

Адказ у азначэнні раўнамернай непарыўнасці функцыі.

Азначэнне 1. Функцыя f называецца раўнамерна непарыўнай на прамежку Х, калі для кожнага  > 0 знойдзецца такое  > 0, што для любых двух пунктаў х₁, х₂  Х, якія задавальняюць няроўнасці x₁  x₂, выконваецца няроўнасць f(x₁)  f(x₂) :

(x₁,х₂X)(x₁  x₂)f(x₁  f(x₂) . (2)

Заўвага. Калі функцыя f раўнамерна непарыўная на прамежку Х, то яна і непарыўная ў кожным х  Х.

Геаметрычгы сэнс раўнамернай непарыўнасці функцыі

Уявіце сябе тонкі , але цвёрды прут. Трэба зрабіць муфту даўжыні  з цыліндрычнай адтуліна й дыяметра , якая магла бы легка рухацца ўздоўж прута ад пункта А(a,f(a)) да пункта В(b,f(b)) і занімала становішча, пры якім яе вось была паралельна восі Ох. Даўжыня  залежыць толькі ад  - дыяметра адтуліны. Чым меней , тым карацей муфта.

Рысунак.

Тэарэма Кантара. Калі функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], то яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку.

 метадам ад працілеглага.

Няхай функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], але не з’яўляецца раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку. Гэта значыць, што для некаторага  > 0 і любога як мага малога > 0, знойдуцца два пункты х₁, х₂  [a,b] такіе, што з няроўнасці x₁  x₂  няроўнасць f(x₁)  f(x₂)  . (3)

Выбярэм бясконца малую паслядоўнасць . Будзем сцвярджаць, што для заданага  > 0 і любога n  N знойдуцца два пункты х_1n, х_2n  [a,b] такіе,што для іх выконваецца няроўнасць x_1n  x_2n_n=  , (4)але  няроўнасць f(x_1n)  f(x_2n)   (3*). Мы атрымалі на адрэзку [a,b] дзве паслядоўнасці (х_1n) (5) , (х_2n) (6). Будзем лічыць, што паслядоўнасць (5) збягаецца да ліку х_о  [a,b], г.зн. х_1n - х_о  0, калі n   (7). Пакажам, што і паслядоўнасць (6) збягаецца да х_о, г.зн., што х_2n - х_о  0, калі n  .

х_2n - х_о = х_2n + x_1n - x_1n - х_о  х_2n – х_o   х_2n - x_1n +  x_1n - х_о.

Адпаведна няроўнасці (4) і сцвярджэння (7) х_2n - x_1n , х_1n -х _о  0 х_2n  х_о. Мы даказалі, што абедзве паслядоўнасці (х_1n) і (х_2n) збягаюцца да аднаго ліку х _о. Паслядоўнасці (х_1n) і (х_2n) абмежаваныя і таму для іх працуе тэарэма Бальцана-Кашы, г.зн. можна вылучыць збежныя падпаслядоўнасці (х_1n^k) i (х_2n^k), якія таксама збягаюцца да х_о. Паколькі фуекцыя f непарыўная ў кожным пункце адрэзка [a,b], то яна непарыўная і ў пункце х_о. Адпаведна азначэння паводле Гайнэ паслядоўнасці значэнняў функцыі (f(х_1n^k)) i (f(х_2n^k)) павінны імкнуцца да f(х_о), а іх рознасць f(х_1n^k)  f(х_2n^k) , калі n  . Гэта супярэчыць няроўнасці (3*): f(x_1n)  f(x_2n)   n у тым ліку і для n^k.

Атрыманая супярэчнасць даказвае памылковасць дапушчэння аб тым, што функцыя f не з’яўляецца раўнамерна непарыўнай.