34.Несобственный интеграл второго рода.

При определении опред-ого интеграла предполагалось, 1.отрезок интегр-ия конечен. 2.Ф-ия непрерывна на отрезке интр=егрирования:еслинарушено одно из условий, то опред-ый интеграл наз-ся несобственным интегралом, причем если отрезок интегрирования неограничен, то интеграл наз-ся несобственным интегралом Iрода, а если же ф-ия неограниченна на отрезке интегрирования, то интеграл наз-ся несобственным интегралом IIрода.

Если ф-ия неограниченна на промежутке интегрирования и этот промежуток интегрир-ия конечен, то опред-ый интеграл явл-ся несоб-ным интегралом IIрода. Пусть ф-ия y=f(x) определена и непрерывна на [а;в) и в т.в ф-ия неогранична, тогда _а^и f(x)dx=lim_ε∞_а^b-ε f(x)dx. Если lim стоящ справа сущ-ет и конечен, то несоб-ый интеграл наз-ся сходящимся= значению этому lim, ну или наоборот интеграл на-ся расходящимся. Если F(x) явл-ся первообразной для f(x), то _а^b f(x)dx=lim_b∞_а^b-ε f(x)dx= lim_b∞F(x)_a^b-ε=lim_ε∞F(b-ε)-F(a). Аналогично вводится понятие несоб-ного интеграла от ф-ии y=f(x) непрерывна и неогранична (а;в] _а^b f(x)dx= lim_ε∞_а-ε^b f(x)dx

Пример, ∫_-2⁰ dx/(5√x+2) = lim_{ɛ →0}∫_-2+ɛ ⁰ (x + 2)^-1/5d(x + 2) = lim_{ɛ →0}(x+2)^4/5/(4/5) |_ɛ-2 ⁰ =5/4lim_{ɛ →0}(⁵√2⁴ - ⁵√(-2+ɛ+2)⁴) = 5/4(⁵√16 – lim_{ɛ →0} ⁵√ɛ⁴) = (5*⁵√16)/4 сходящийся

35.Дифференциальные уравнения

Дифференциалом ф-ии наз-ся линейная относит-но х часть приращения ф-ии, равная поизведению производ на приращ аргумента… dy=yx

Опред1.Уравнения, содержащее независимую переменную ф-ии, от этой переменной и ее производные различ порядков, наз-ся диф-ные уравнения. Общий вид f(x; y;yⁿ;…y⁽ⁿ⁾)=0

Опред2.Наивысший порядок производной входящий в диффер-ое уравнение, наз-ся порядком диффер-ого уравнения.

Опред3.Решение диф-ого уравнения наз-ся такая ф-ия y=(x), к-ая при подстановке её в этой диф-ые уравнение обращает его в тождество.Задача о нахождении решения нек-ого диф-ого уравнения наз-ся задачей интегрирования данного диф-ого уравнения.

Опред4.Решение диф-ого уравнения n-ого порядка, содержащего n производных постоянных наз-ся общим решением диф-ого уравнения.

Опред5.Если в результате интегрирования диф-ого уравнения получена зависимость м/у х и у, из к-ой не удается явно явно выразить у, то эта зависимость на-ся общим интегралом диф-ого уравнения

Опред6.Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных, наз-ся частным решением диф-ого уравнения.

36.Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

Опред1.Уравнения, содержащее независимую переменную ф-ии, от этой переменной и ее производные различ порядков, наз-ся диф-ные уравнения. Общий вид f(x; y;yⁿ;…y⁽ⁿ⁾)=0

Пусть дано дифферен-ое уравнение I порядка р(х;у) у+Q(x;y)=0 может оказаться, что ф-ии р(х;у) и Q(x;y) явл-ся произведением 2-х ф-ий: одна зависит только от х; вторая только от у.

Р(х;у)=f₁(x)*f₂(y); Q(x;y)=₁(x)*₂(y)

f₁(x)*f₂(y)*y+₁(x)*₂(y)=0; f₁(x)*f₂(y)*y=-₁(x)*₂(y)

По опред производной у=dy/dx: f₁(x)*f₂(y)*(dy/dx)=-₁(x)*₂(y) /*dx

f₁(x)*f₂(y)*dy=-₁(x)*₂(y)dx /*f₁(x)*₁(x)0

f₂(y)/₂(y)*dy=-₁(x)/f₁(x)*dx

Проинтегрировав это выражение, получим общее решение: f₂(y)/₂(y)dy=- ₁(x)/f₁(x)dy