1. Структура погрешности в численном анализе.

Основные источники погрешностей:

1. Погрешности математической модели.Любая задача есть модель какого-то явления. Всякая модель – это объект более простой, чем реальный. Модель – приближенное описание реального объекта, т.е. содержит погрешности.

2. Погрешности исходных данных.Данные могут оказаться неточными.

3. Погрешности метода решения.исленные методы заменяют задачу на близкую. Например, вместо интегрирования – суммирование, вместо дифференцирования – вычисление конечно разностного отношения и т.д. В результате вместо точного решения исходной задачи получаем приближенное решение преобразованной задачи.

4. Погрешности округлений при выполнении арифметических операций.

В рамках численных методов погрешности 1 и 2 считаются неустранимыми.

Рассмотрим подробнее пункт 4.

Пусть - приближенное представление числа X, т.е. ,

где - погрешность.

Определение 1.Величина называется абсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .Максимально возможное значение , т.е. число , удовлетворяющее неравенству , называется максимальной, или предельной, абсолютной погрешностью (ошибкой).

Определение 2.Величина, равная , называется относительной ошибкой представления числа X числом .Если , то число называется максимальной предельной относительной ошибкой.

2.3.Округление.

Обычно при вычислении с плавающей запятой число X представляется в нормализованном виде. ,где f - мантисса числа X, ,

а - основание системы счисления (а=2,8,10 и т.д.), L – порядок числа, .

Кроме того, , - цифра в k-ом разряде дробного числа, .

t – порядок числа - число используемых значащих цифр (характеристика вычислительного устройства).

Определение 3.Пусть число X записано в позиционной системе счисления. Значащими называются все цифры, начиная от первой слева не равной 0.Если число значащих цифр в представлении X превосходит t, то происходит округление.Ошибки округления распространяются дальше при выполнении арифметических операций.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1.Абсолютная погрешность суммы.

Пусть , . Тогда

, где .

Т.к. , то , т.е. предельные абсолютные ошибки складываются.

Пример 2.То же самое для разности. Предельные максимальные абсолютные погрешности аналогично складываются.

Пример 3.Относительные погрешности произведения.

, где ,

, где

.

Считаем, что последнее слагаемое имеет второй порядок малости по сравнению с первыми двумя, и им пренебрегаем.

, ,

тогда получаем , т.е. .

При умножении относительные максимальные ошибки приближенно складываются.

Пример 4.Деление.

При делении относительные максимальные ошибки также складываются.

4. Понятие близости в метрическом пространстве.

Определение 1.Множество X элементов произвольной природы (не обязательно числовое множество) называется метрическим пространством, если любой паре элементов поставлено в соответствие число , (метрика, или расстояние) в соответствии с аксиомами:А1. тогда и только тогда, когда x=y.А2. .

А3. – неравенство треугольника.

Определение 2.Говорят, что последовательность элементов метрического пространства X сходится к элементу , если .

Определение 3.Последовательность элементов метрического пространства X называется фундаментальной, если .

Определение 4.Метрическое пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к некоторому элементу этого пространства. Замечания.1Не любое метрическое пространство является полным.

Например, множество всех рациональных чисел с метрикой не является полным, т.к., скажем, последовательность - фундаментальная, но - иррациональное число.2 Сходимость большинства итерационных процессов удается доказать только в полном метрическом пространстве, следовательно, полнота играет важную роль в числовом анализе.

Определение 5.Множество X называется нормированным линейным пространством, если

• оно является линейным пространством, т.е. в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число с известными свойствами.

• любому элементу поставлено в соответствие число (норма x), удовлетворяющее аксиомам:А1. ,А2.

• А3. – неравенство треугольника.

Замечание.Любое нормированное линейное пространство X можно считать метрическим, введя метрику по формуле . (1)

Если последовательность нормированного пространства X сходится в смысле метрики (1), то говорят о сходимости по норме пространства X.

Нетрудно убедиться, что для метрики (1) выполняются все аксиомы метрики.

Приведем некоторые примеры классов функций и соответствующих линейных пространств.