Сопротивление, индуктивность и емкость в синусоидальной цепи.

1. Сопротивление.

Переменное «сопротивление» в цепях переменного тока оказываются недостижимым, так как на величину тока оказывает влияние не только элементы, где электрическая энергия преобразуется в тепло (активное сопротивление), и элементы, в которых энергия накапливается (индуктивность и емкость). Эти элементы называются реактивными элементами и соответствующее им сопротивление – реактивное сопротивление.

Пусть к активному сопротивлению приложено напряжение , тогда . В активном сопротивлении ток по фазе совпадает с напряжением, сдвиг фаз равен нулю.

Представим синусоидальный ток и напряжение в виде комплекса:

; Z_R - комплексное сопротивление активного сопротивления. Для активного сопротивления комплексное сопротивление равно действительному числу, равному R. напряжение на емкости отстает по фазе от тока на .

комплексное сопротивление емкости.

2.Индуктивность:

Через линейную индуктивность протекает синусоидальный ток

- индуктивное сопротивление (зависит от частоты).[X_L]=Ом

Напряжение на индуктивности опережает ток в индуктивности по фазе на π/2 (на четверть периода).

3. Емкость: Пусть к емкости приложено синусоидальное напряжение.

емкостное сопротивление.

[X_C]=Ом;

Последовательное соединение цепи синусоидального тока. Комплексное сопротивление.

Параметры R,L,C известны; , найдем ток в цепи.

1. по второму закону Кирхгофа:

Рассмотрим установившийся режим, так как цепь линейна и к цепи приложено синусоидальное напряжение; где - амплитуда, - начальная фаза (пока неизвестны, должны найти). Представим синусоидальный ток и напряжение в виде: (*)

Подставим соотношение (*) в уравнение (1) и, поменяв операции дифференцирования, интегрируя суммирование и операцию взятия мнимой части сократив на множитель (с права и с лева), приняв с права и с лева комплексы получим уравнение: (2)

Обозначим через Z, - комплексное сопротивление цепи. . комплексное сопротивление цепи, состоящей из трех последовательно соединенных элементов равно сумме комплексов.

-полное сопротивление.

реактивное сопротивление.

. Тогда (2) приобретает вид: таким образом задача решена

Порядок расчета:

1. определяем комплексное сопротивление цепи

Z:

2. представим синусоидальное напряжение через комплексные амплитуды:

3. определяем комплексную амплитуду тока:

.

4. Умножаем комплексную амплитуду тока на оператор вращений и берем мнимую часть:

.

Запишем уравнение (1) через комплексную амплитуду:

(3)

ток опережает по фазе напряжение

напряжение и ток совпадают по фазе

Комплексная проводимость.

Величина обратная комплексному сопротивлению – комплексная проводимость.

g – Активная составляющая комплексной проводимости.

b – Реактивная составляющая комплексной проводимости.

Активные и реактивные зависят от активного и реактивного сопротивления.

По первому закону Кирхгофа:

Так как к цепи приложено синусоидальное напряжение токи будут изменяться по синусоидальному закону, поэтому первый закон Кирхгофа может быть записан через комплекс: . (1)

I₁ - комплексная проводимость первой ветви. Подставляя в (1) получим: . Эквивалентная комплексная проводимость цепи находится по правилу аналогичной цепи с постоянным током : эквивалентная комплексная проводимость равна сумме комплексных проводимостей параллельных ветвей.

(2)

Выражение формулы (2) позволяет рассчитать комплексную амплитуду тока и даже перейти к мгновенному значению.

индуктивное сопротивление.

емкостное сопротивление.

Порядок расчёта:

1. Определяем комплексные проводимости ветвей

y₁, y₂….y_n

2. Находим эквивалентную комплексную проводимость

y_э= y₁+y_n+…+y_n

3. Находим комплексную амплитуду тока неразветвлённой части цепи

4. Если необходимо переходим к линейному значению тока

5. Построим векторную диаграмму для цепи

- Начинаем с

- отложим

- согласно (1) сумма векторов I₁

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Метод комплексных амплитуд

Т.к. цепь синусоидального тока

- комплексная амплитуда тока

- 1й з-н Кирхгофа, в комплексной форме

Алгебраическая сумма комплексов токов сходится в узле и =0

По 2му з-ну Кирхгофа:

Ур-ие (*) может быть записано комплексной форме

- 2й з-н Кирхгофа в комплексной форме (**)

Z_k – комплексное сопротивление ветви

- комплексная амплитуда токов к - ветви

- комплексная амплитуда ЭДС в к – ветви

Алгебраическая сумма комплексов напряжений на пассивных элементах любого контура в цепи = алгебр. сумме комплексных ЭДС, действующих в этом контуре.

Законы Кирхгофа для цепи постоянного тока

Уравнение (*), (**) – Уравнение Кирхгофа в комплексной форме (для комплексных амплитуд) по форме совпадают с уравнениями (***), записанных для цепи постоянного тока. Изучая расчёт цепей постоянного тока, были рассмотрены различные методы расчёта:

- метод эквивалентных преобразований

- метод контурных токов

- метод эквивалентного генератора и т.д.

Эти методы расчёта (формулы) следовали из законов Кирхгофа, очевидно все эти методы можно использовать и для расчёта линейных цепей синусоидального тока, проводя в расчетных формулах замену:

Такой метод расчёта получил название Метод комплексных амплитуд.

Рассмотрим мост переменного тока:

Усиление равновесия моста постоянного тока:

R₁+R₂=R₂R₃

Для переменного тока:

Z ₁Z₄=Z₂Z₄ =>

Z₁Z₄=Z₂Z₃ условие равновесия моста

φ1+φ4=φ2+φ3 переменного тока