Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Определение: Ряд вида (1) называется знакочередующимся, если величины

Теорема: Если члены знакочередующегося ряда (1) удовлетворяют неравенству и (3), то знакочередующийся ряд сходится, его сумма положительна и не превышает величины первого члена ряда.

Доказательство: Рассмотрим четную частичную сумму ряда (1) используя ассоциативность сложения расставим скобки в четной частичной сумме:

Исходя из неравенства (2) следует, что каждая скобка строго положительна с увеличением номера m четная частичная сумма возрастает.

Видим, что в последней частичной сумме каждая ( ) также положительна, следовательно частичная сумма , таким образом видим, что последовательность четных частичных сумм возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел. Обозначим этот предел , покажем, что последовательность нечетных частичных сумм стремится к S. Каждую нечетную частичную сумму можно представить в виде: . В силу условия (3), переходя к пределу получим: . Таким образом, теорема доказана. Проиллюстрируем теорему Лейбница геометрически. Будем откладывать частичные суммы на числовой оси.

С увеличением n, частичные суммы приближаются к S. Причем четная сумма приближается слева (возрастая), а нечетная приближается справа (убывая). Теорема Лейбница легко позволяет оценить погрешность от замены суммы ряда, частичной суммой.

Отбросим от знакочередующегося ряда первые n членов, также получим знакочередующийся ряд. Если этот ряд удовлетворяет теореме Лейбница, то его сумма будет не больше (n+1)-члена, рассматриваемого ряда ( по абсолютной величине). Например: рассмотрим ряд : члены этого ряда удовлетворяют неравенству: , . Видим, что для выписанного ряда выполняются все условия теоремы Лейбница, следовательно, этот ряд сходится. Частичная сумма ряда равна: . .

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов.

Определение: ряд , называется знакопеременный ряд, если его члены могут принимать как положительные так и отрицательные значения. Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Будем полагать, что могут быть как положительны, так и отрицательны.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

Теорема: Если знакопеременный ряд (4), таков, что ряд составленный из абсолютных величин членов ряда (4) сходится, то сходится и знакопеременный ряд (4).

Доказательство: Обозначим через частичную сумму членов ряда (4), частичная сумма членов ряда (5). Пусть - сумма положительных членов, входящих в , - сумма абсолютных величин отрицательных членов, входящих в , тогда = + (6), а = - (7). Так как ряд (5) сходится, то существует предел . Таким образом замечаем, что = - < . Последовательность с увеличением n возрастает и ограничена сверху, следовательно существует предел . Последовательность частичных сумм с увеличением n возрастает и ограничена сверху, следовательно существует предел . Таким образом можем перейти к пределу = - . Таким образом доказали, что знакопеременный ряд (4) сходится. Пример:

Пример: . Где -любое число. Для исследования сходимости ряда (8) составим ряд из абсолютных величин, членов ряда (8)

(9) – является рядом с положительными членами. Видим, что члены ряда (9) не больше членов ряда: .

Замечаем, что (10) является обобщенным гармоническим рядом, с показателем равным 2, 2 >1, и как было показано выше, в этом случае ряд (10) сходится , следовательно ряд (9) сходится, следовательно ряд (8) сходится. Существуют знакопеременные ряды, которые сами сходятся, однако ряды, составленные из их положительных членов расходятся.

Пример: .

Ряд сходится согласно теореме Лейбница.

гармонический ряд расходится. В связи с этим вводят понятия абсолютной и условной сходимости.

Определение: Знакопеременный ряд , называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин ряда (*). Другими словами, если (**) сходится, то ряд (*) сходится абсолютно. Если (*) сходится, а (**) расходится, то говорят, что (*) сходится условно.

(**)

Замечаем, что (8) является абсолютно сходящимся, а ряд (11) является условно сходящимся. Для абсолютно и условно сходящихся рядов справедливы следующие теоремы:

Теорема1: Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Теорема2: Если ряд сходится условно, то можно так представить члены ряда, что его сумма будет равна любому наперед заданному числу А. Можно так переставить члены условно сходящего ряда, что ряд станет расходящимся.

Пример: Рассмотрим ряд (11). Этот ряд сходится, S-сумма ряда (11). Составим из членов ряда (11) вспомогательный ряд, так чтобы за каждым положительным членом следовало 2 отрицательных:

Рассмотрим частичную сумму первых S_3K-членов:

Преобразуем частичную сумму первых _3K-членов:

Вынесем из каждой скобки , получим, что . Переходя к пределу при .

, где S – сумма членов ряда (11).

Рассмотрим теперь

Таким образом, показали, что переставив в ряде (11) члены, получили условно сходящийся ряд, сумма которого равна половине суммы ряда (11).