МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ

Москва 2006

УДК 519.6

ББК 22.19

М 327

Данное пособие подготовлено преподавателями кафедры “Исследование операций” Н.Ю.Грызиной, И.Н. Мастяевой, О.Н.Семенихиной. Математические методы исследования операций в экономике: Учебное пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. М.: МЭСИ, 2006.

Учебное пособие

© Н.Ю.Грызина, И.Н. Мастяева, О.Н. Семенихина.

2006

© Московский Государственный Университет Экономики,

Статистики и Информатики, 2006

Оглавление

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 1

ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ 1

1 ВВЕДЕНИЕ В ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ 4

1.1 Основные определения 4

1.2 Этапы исследования операций 4

2. Элементы линейной алгебры 21

2.1. АЛГЕБРА МАТРИЦ 21

2.1.1. ВИДЫ МАТРИЦ 21

2.1.2. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ 22

2.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 27

2.3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 31

2.3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 31

2.3.2. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА И МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ 31

2.3.3. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА 34

2.4. ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 38

2.4.1. n-МЕРНЫЙ ВЕКТОР И ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 38

2.4.2. РАЗМЕРНОСТЬ И БАЗИС ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА 39

2.5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL 41

3. Линейное программирование 48

3.1. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 48

3.1.1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 48

3.1.2. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 49

3.1.3. КАНОНИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 50

3.2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗЛП 50

3.3. АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ (МОДЕЛИ) НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ 55

3.4. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ. 67

3.4. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД (Р-МЕТОД) 81

3.5. РЕШЕНИЕ ЗЛП ДВУХЭТАПНЫМ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ 91

4. Теория двойственности в линейном программировании 98

4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДВОЙСТВЕННОЙ ЗЛП 99

4.2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ 102

5. Целочисленные модели исследования операций 137

5.1. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ РЕШЕНИЯ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО 138

ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ЦЗЛП) 138

5.2. ЗАДАЧА КОММИВОЯЖЕРА 146

6. Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели 160

6.1.ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 160

6.2.ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К ТРАНСПОРТНОЙ МОДЕЛИ 179

6.3.ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ 186

1. Введение в исследование операций

1.1 Основные определения

Термин исследование операций впервые появился в англоязычной литературе в 1939г. в Великобритании. Возникнув в военных целях, исследование операций получило хорошую «базу» и легко перенеслось в экономику.

Исследование операций (ИО) – это применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. (Вентцель Е.С., Введение в ИО)

Исследование операций (ИО) – это применение математических методов для моделирования систем и анализа их характеристик. (Таха Х., Введение в ИО)

Операция – всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели.

Исследовать операцию – найти наилучшее решение, в условиях, когда имеют место ограничения (экономического, технического и др. характера).

Решение – определенный выбор зависящих от организатора параметров

Цель исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных решений. (Вентцель Е.С., Введение в ИО)

Цель исследования операций заключается в том, чтобы выявить наилучший (оптимальный) способ действий при решении той или иной задачи организационного управления в условиях, когда имеют место ограничения технико-экономического или какого-либо другого характера. Таха Х., Введение в ИО)

Оптимальными считают те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других. Поэтому

основной задачей исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Эффективность операции —количественно выражается в виде критерия эффективности — целевой функции.

Для применения количественных методов исследования требуется построить математическую модель операции.

Экономико-математическая модель — достаточно точное описание исследуемого экономического процесса или объекта с помощью математического аппарата (различного рода функций, уравнений, систем уравнений и неравенств и т.п.).