- •Основные понятия
- •Скалярное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •Смешанное произведение трех векторов и его свойства
- •Краткий конспект лекции 13
- •Глава 5. Элементарная теория линейных операторов (продолжение)
- •5.3. Сопряженный оператор
- •5.3.1. Сопряженный оператор и его матрица
- •5.3.2. Самосопряженный оператор
- •5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора
- •5.3.4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме
- •Бесконечно малая величина
- •Бесконечно большая величина
- •Свойства бесконечно малых
- •Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины
- •Сравнение бесконечно малых функций.
- •Эквивалентные величины Определение
- •Теорема
- •Локальные экстремумы
7.2. Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).
Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. (а хb ) = (а ) х b = а х (b ).
Пусть >0. Вектор (ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( а)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, а лежат в одной плоскости). Значит, векторы (ахb ) и ( а)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
Поэтому (a хb )= ахb . Аналогично доказывается при <0.
3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.
В частности, i *i =j *j =k *k =0.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
(a+b) хс= ахс+b хс.
Примем без доказательства.
7.3. Выражение векторного произведения через координаты
Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :
если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».
Пусть заданы два вектора а=ахi +ayj +azk и b =bxi +byj +bzk . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):
Полученную формулу можно записать еще короче:
так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.
7.4. Некоторые приложения векторного произведения
Установление коллинеарности векторов
Нахождение площади параллелограмма и треугольника
Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а| * |b |sin , т. е. S пар = |а х b |. И, значит, S =1/2|а х b |.
Определение момента силы относительно точки
Пусть в точке А приложена сила F =АВ и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).
Из физики известно, что моментом си лы F относительно точки О называется вектор М, который проходит через точку О и:
1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;
2) численно равен произведению силы на плечо
3) образует правую тройку с векторами ОА и A В.
Стало быть, М=ОА х F .
#13
Смешанное произведение трех векторов и его свойства
Смешанным произведением трёх векторов называют число, равное . Обозначается . Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем полученный вектор умножается скалярно на третий вектор . Очевидно, такое произведение есть некоторое число.
Рассмотрим свойства смешанного произведения.
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е. .
Таким образом, и .
Д оказательство. Отложим векторы от общего начала и построим на них параллелепипед. Обозначим и заметим, что . По определению скалярного произведения
. Предполагая, что и обозначив через h высоту параллелепипеда, находим .
Таким образом, при
Если же , то и . Следовательно, .
Объединяя оба эти случая, получаем или .
Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка векторов правая, то смешанное произведение , а если – левая, то .
Для любых векторов , , справедливо равенство
.
Доказательство этого свойства следует из свойства 1. Действительно, легко показать, что и . Причём знаки "+" и "–" берутся одновременно, т.к. углы между векторами и и и одновременно острые или тупые.
При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак.
Действительно, если рассмотрим смешанное произведение , то, например, или
.
Смешанное произведение тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы – компланарны.
Доказательство.
Предположим, что , т.е. , тогда или или .
Если , то или или . Поэтому – компланарны.
Если , то , , - компланарны.
Пусть векторы – компланарны и α – плоскость, которой они параллельны , т. е. и . Тогда , а значит , поэтому или .
Т.о., необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Кроме того, отсюда следует, что три вектора образуют базис в пространстве, если .
Если векторы заданы в координатной форме , то можно показать, что их смешанное произведение находится по формуле:
.
Т. о., смешанное произведение равно определителю третьего порядка, у которого в первой строке стоят координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора и в третьей строке – третьего вектора.
#19
ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
П оложение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М1 и вектора , параллельного этой прямой.
Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Итак, пусть прямая l проходит через точку М1(x1, y1, z1), лежащую на прямой параллельно вектору .
Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .
Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.
Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда
Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
П усть М1(x1, y1, z1) – точка, лежащая на прямой l, и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .
Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,
– канонические уравнения прямой.
Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений получаем или .
Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.
Обозначим , отсюда x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox. Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox, следовательно, m=0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид
Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде
Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде . Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.
Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями
Р ассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .
Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .
Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .
Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.
#23