- •5. Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии
- •5.1. Основные понятия и определения
- •5.2. Символический метод расчета цепей синусоидального тока
- •5.2.1. Изображение гармонических величин векторами на плоскости комплексного переменного. Комплексная амплитуда, комплекс действующего значения.
- •5.2.2. Ток, напряжение и мгновенная мощность в элементах электрической цепи
- •5.2.3. Полное комплексное сопротивление (комплексная проводимость). Закон Ома для цепей синусоидального тока
- •5.2.4. Анализ цепей синусоидального тока первого порядка (rl и rc цепи)
- •5 .2.4.1. Последовательная rl-цепь
- •5.2.4.2. Параллельная rl-цепь
- •5.2.4.3. Последовательная rс-цепь
- •5 .2.4.4. Параллельная rс-цепь
- •5.2.5. Анализ цепей синусоидального тока второго порядка (rlc цепи)
- •5.2.5.1. Последовательная цепь
- •5.2.5.2. Параллельная цепь
- •5.2.6. Мощность в цепи синусоидального тока в комплексной форме
- •5.2.7. Резонансный режим работы реактивного двухполюсника
- •5.2.7.1. Резонанс напряжений. Последовательный резонансный контур (псрк)
- •5.2.7.2. Резонанс токов. Параллельный резонансный контур (пррк)
5. Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии
5.1. Основные понятия и определения
Синусоидальный ток (напряжение) и его параметры.
Гармоническое воздействие описывается выражением:
, (5.1)
где Im –амплитуда тока [A], Т –
- период колебания [c], ω = 2πf-
– угловая частота [рад /c], f = -
- линейная частота [Гц], (ωt ±
± φ0) – фаза колебания [рад], φ0 -
– начальная фаза колебания [рад]. Графическое изображение синусоидального тока показано на рис.5.1.
Среднее значение гармонического тока
Под средним значением синусоидальной величины понимают её среднее значение за половину периода:
│
Действующим (эффективным) значением гармонического тока (IД) называется такое значение постоянного тока, которое за время периода колебания (Т), выделяет в сопротивлении такое же количество тепла, что и переменный ток с периодом Т. Определим связь Im и IД: , с другой стороны │ . Приравняв
значения Q, сократив одинаковые множители, после извлечения корня получим соотношение -
5.2. Символический метод расчета цепей синусоидального тока
Сущность метода заключается в переходе от дифференциальных уравнений состояния ЭЦ относительно мгновенных значений токов и ЭДС к алгебраическим уравнениям, составленным относительно, так называемых комплексов тока и ЭДС.
Символический метод (метод комплексных амплитуд), подобно логарифмическому методу, основан на идее функционального преобразования, при котором операции над исходными функциями (оригиналами) заменяются более простыми операциями над некоторыми новыми функциями, называемыми изображениями или символами.
5.2.1. Изображение гармонических величин векторами на плоскости комплексного переменного. Комплексная амплитуда, комплекс действующего значения.
С огласно формуле Эйлера комплексное число е jα = cosα +jsinα, где j= есть мнимая единиц. На плоскости комплексного переменного это число можно представить в виде вектора длиной 1 [так как модуль │еjα│=1] расположенного под углом α к вещественной оси (рис.5.2). Домножим теперь правую и левую части формулы Эйлера на величину амплитуды тока Im и будем полагать, что угол α меняется во времени по закону α =ωt+ +φ0, в результате получим соотношение:
Im е j(ωt+ φ0) =Im cos(ωt+ φ0) + jIm sin(ωt+ φ0), (5.2)
где Im cos(ωt+ φ0)= Re[Im е j(ωt+ φ0)] – вещественная часть комплексного числа, Im sin(ωt+ φ0) =
=Im[Im е j(ωt+ φ0)] – мнимая часть комплексного числа. Из этих выражений следует, что гармоническое колебание можно представить как мнимую часть комплексного числа или в геометрическом представлении, как проекцию вращающегося вектора на мнимую ось. Принято изображать вектор в момент t =0, тогда
= . (5.3)
Таким образом, произошла замена гармонического колебания (синусоидального переменного тока) на некий символ , называемый комплексной амплитудой. Таким же образом можно определить комплекс действующего значения
Такое представление позволяет заменить громоздкие тригонометрические вычисления суммы или разности синусоидальных функций времени одной и той же частоты, но разной фазы, алгебраическими вычислениями с комплексными числами (либо простыми геометрическими построениями).
Пример 12
Определить вид гармонического колебания, являющегося суммой двух токов: i1 = 1 sin (ωt + 600), i2 = 2 sin (ωt - 300).
Решение.
1 = е j60= cos600 +jsin600 = 0,5 + j0,87; 2 = е- j30= cos(-300) +jsin(-300)= 1,74 - j1
Σ = 1 + 2 = 2,24 - j0,13.
Im Σ = = 2,25,
φ=- arctg =-30
Ответ: Σ = 2,25 е- j3 → i1Σ = 2,25 sin (ωt -30)
Умножение вектора на j и –j.
Представим мнимую единицу в показательной форме: j = 1 е j90, - j = 1 е- j90. Действительно, согласно формуле Эйлера е j90 = cos900 +jsin900 =0 + j. Таким образом, умножение на +j приводит к повороту вектора на 900 (против часовой стрелки), умножение на - j приводит к повороту вектора на - 900 (по часовой стрелке).
Операции дифференцирования и интегрирования в символической форме.
Полагаем, что ток в ЭЦ описывается гармонической функцией i(t) = Im sinωt, тогда напряжение на индуктивном элементе u(t) = = ωLIm cosωt= ωLIm sin(ωt + ) или в символической форме , т.е операция дифференцирования эквивалентна умножению на jω ( ). Напряжение на емкостном элементе u(t)= Im cosω=- sin(ωt + ) или в символической форме , т.е операция интегрирования эквивалентна делению на jω ( ).