4Позиционные системы счисления

4.1Степень целого числа с натуральным показателем.

Умножение натуральных чисел мы вводили как заменитель сложения одинаковых чисел: вместо 3+3+3+3+3 мы ввели сокращённую запись 53. Точно так же можно ввести операцию возведения в степень: для сокращённой записи умножения одного и того же числа на себя много раз. Так, вместо 33333 мы пишем 3⁵. А, например, 5³=555.

Число, которое стоит внизу, называется основанием степени, число, которое стоит вверху, называется показателем степени, сама операция называется возведением в степень, а число, которое при этом получается, называется степенью. Так, в записи 6⁴ число 6 является основанием степени, число 4 – показателем степени, само 6⁴ является четвёртой степенью числа 6, а операция получения из 6 и 4 числа 6⁴=6666 – возведением 6-ти в 4-ую степень. Если мы рассмотрим последовательно числа

5¹=5;

5²=55;

5³=555;

……………..,

то мы видим, что при увеличении показателя степени на единицу число увеличивается в пять раз. Если же мы пойдём по этой же диаграмме строчка за строчкой вверх, то видим, что при уменьшении показателя степени на единицу, число уменьшается в пять раз. Значит, при переходе от 5¹ к 5⁰ мы должны разделить 5 на 5 и получить 1. Поскольку число 5 было выбрано произвольно, для примера, то же самое получилось бы, если бы мы выбрали любое другое основание степени. Итак, любое число в нулевой степени – это 1.

Далее, 5²5³=(55)(555)=5⁵. Числа 5, 2 и 3 были выбраны лишь для демонстрации важного свойства: при перемножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. Точно так же было бы, если бы мы написали это правило в общем виде a^ba^c=a^b+c, где a,b,cN.

Упражнение 28.

Выведите правило a^ba^c=a^b+c и a⁰=1 для отрицательных целых чисел.

Вторая степень любого числа называется его квадратом, потому что она соответствует площади квадрата со стороной, равной этому числу. Третья же степень называется кубом, потому что она соответствует объёму куба с ребром, равной этому числу.

4.2Системы счисления

Между прочим, 10⁰=1, 10¹=10, 10²=100, 10³=1000, так что число 7532, которое читается как семь тысяч пять сотен три десятка и две единицы может быть записано как 710³+510²+310¹+210⁰. Точно так же любое другое число, записанное в десятичной системе счисления, раскладывается по степеням числа 10. Система потому и называется десятичной, что основанием степени для неё является десятка. В ней 10 символов-цифр. Это как буквы для слов.

А что было бы, если заменить 10 в основании степени на, скажем, ту же 5?

Тогда цифр для записи чисел у нас останется всего 5: 0, 1, 2, 3 и 4. Любое число мы записывать будем, собирая его из степеней пятёрки. Будем индексом внизу обозначать используемую систему счисления. Так, 5₁₀ означает 5 в десятичной системе счисления, а 12₃ в

троичной системе счисления означает одну тройку и две единицы, что также равно пяти. Запишем в пятеричной системе счисления, к примеру, десятичное число 63.

25	5	1
52	51	50
2	2	3

Для этого составим таблицу степеней пятёрки. Ближайшая к 63 степень пятёрки – вторая. Она умещается в числе 63 два раза: 63=252+13. Остаётся набрать 13. Оно состоит из двух пятёрок и трёх единиц. Итого, 63₁₀=223₅. Позиционными все эти системы называются потому, что вклад, который вносит цифра в общую сумму, из которой складывается записанное цифрами число, зависит от позиции этой цифры в числе. Так, в троичной системе счисления двойка на третьей справа позиции в числе «весит» в 9 раз больше тройки, стоящей первой. Запись 100110₂ в двоичной системе счисления означает число 12⁵+02⁴+02³+12²+12¹+01=32₁₀+4₁₀+2₁₀=38₁₀.

Упражнение 29.

1. Запишите в пятеричной системе счисления число 221₃.

2. Запишите в четверичной системе счисления число 103₆.

13	8	5	3	2	1

Числа 1,10,100,1000,… образуют так называемый базис десятичной системы счисления, который состоит из степеней десяти. Точно так же он выглядит и в других системах счисления, основанных на степенях какого-то числа (только в пятеричной системе это будут степени пятёрки, 1, 5, 25, 125,…; в двоичной степени двойки 1, 2, 4, 8, 16,…). Но базисами могут служить и другие возрастающие последовательности чисел. Например, такая:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,….В ней, начиная с третьего числа, каждое следующее равно сумме двух предыдущих⁸.

Запишем эту последовательность справа налево и разложим по ней, например, число 4: 4=13+02+11=101_F. Число 7 представляется так: 15+03+12+01=1010_F. 8₁₀=10000_F; 11₁₀=10100_F; 16₁₀=100100_F.

Упражнение 30.

1. Запишите в этой системе счисления число 101110₂.

2. * Докажите, что в этой системе счисления каждое число записывается в виде последовательности из нулей и единиц, причём никакие две единицы не стоят рядом. При этом каждой такой последовательности соответствует некоторое число, причём разным последовательностям соответствуют разные числа, а разным числам – разные последовательности.