1. Свойства сходящихся числовых рядов
1°.
Пусть ряд
сходится и
Тогда для любого
(
= const)
сходится ряд
и имеет сумму
.
{Пусть
.
,
}.
2°.
Если сходятся
ряды
и
,
то сходится ряд
и имеет сумму A+B.
{Пусть
.
=>
}.
3°.
Если
,
то для любых чисел
и
.{Следует
из 1° и 2°}
4°. Если сходится ряд , то сходится и любой его остаток. Если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.
{Обозначим
m-ый
остаток ряда
,
его p-ую
частичную сумму
.
Пусть
.
;
(*) Зафиксируем
,
а
устремим к бесконечности. Тогда
.
и остаток ряда
сходится.
Если
же известно, что сходится остаток ряда
,
то из (*) следует:
и ряд
сходится.
Обозначим
.
Тогда из (*) следует:
(**) или
.}
Выводы:
1. Переходя
в (**) к пределу при
,
получаем
2.Отбрасывание
конечного числа начальных членов ряда
или присоединение в начале его нескольких
новых членов не отражается на поведении
ряда (в смысле его сходимости или
расходимости).
2. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Необходимое условие сходимости
Теорема
(критерий Коши): Для
того чтобы ряд
сходился,
необходимо и достаточно, чтобы
и
выполнялось бы:
.
{Сходимость
числового ряда определяется сходимостью
числовой последовательности {
}.
Ранее доказано: для того чтобы
последовательность {
}
сходилась, необходимо и достаточно,
чтобы
и
выполнялось бы:
или
.}
Теорема
(необходимое условие сходимости) :
.
Переходя к пределу при
,
получим:
.
Тот же результат можно получить из
критерия Коши, полагая p
= 1. Очевидно, условие
является необходимым, но не достаточным
условием сходимости числового ряда.
(НО : Ряд
расходится , однако
)
3. Признаки сравнения числовых рядов
Теорема
1 (признак сравнения): Пусть
даны два ряда:
(1) и
(2). Если, начиная с некоторого номера
выполняется:
(3),
,
то из сходимости ряда (2)
сходимость ряда (1); из расходимости ряда
(1)
расходимость ряда (2).
{Не
ограничивая общности, будем считать,
что неравенство
выполняется для всех n
. Пусть
.
Очевидно, последовательности {
}
и {
}
– монотонные неубывающие. Пусть ряд
(2) сходится. Тогда {
}
ограничена:
.
Но тогда, в силу (3),
и ряд (1) – также сходится.
Пусть ряд (1) расходится. Если бы ряд (2) сходился, то, по доказанному выше, сходился бы и ряд (1). Т.е. получили бы противоречие. Таким образом, ряд (2) также расходится.}
Теорема
2 (признак сравнения в предельной форме):
Пусть
Если существует
то ряды (1) и (2) сходятся либо расходятся
одновременно.
{ Пусть ряд
(2) сходится.
Из существования
:
,
откуда получаем:
или
следует сходимость ряда (1).
Пусть ряд
(2) расходится.
Существует
,
откуда аналогичным образом получаем:
.
Если бы сходился ряд (1), а вместе с ним
и ряд
,
то по теореме 1 сходился бы и ряд (2). А
это не так. Значит, ряд (1) также расходится.}
.
Так как
,
а ряд
- расходится (
то расходится и ряд
.
5.Интегральный признак сходимости (Признак Коши - Маклорена)
Теорема
(Коши - Маклорена): Пусть
функция у = f(x)
определена при х≥1, неотрицательна и
монотонно убывает на
∞).
Тогда ряд
,
где
сходится
тогда и только тогда, когда сходится
несобственный интеграл
(2)
[Так
как f(x)
монотонна на
∞) , то она интегрируема по Риману на
любом отрезке [1,
],
поэтому имеет смысл
.
Так как f(x)-убывает
на
∞), то для
f(k+1)
.
Проинтегрируем последнее неравенство
по отрезку
:
,
k=1,2,3.4...
Просуммируем по к:
Обозначим ,
Тогда
Пусть несобственный
интеграл (2) сходится. Последовательность
монотонна (
)
и ограничена. Тогда ограничена и
последовательность
.
А поскольку она монотонно возрастает,
то является сходящейся.
Пусть сходится
ряд (1). Покажем, что сходится несобственный
интеграл (2). Последовательность
– монотонная, сходящаяся последовательность,
следовательно, ограничена.
Тогда из (3) следует
ограниченность возрастающей
последовательности
,
а следовательно, её сходимость. То есть
существует конечный
;
интеграл (2) сходится. }
Пример :
,
s>0,
Рассмотрим
f(x)=
на [1,
);
Значит,
ряд сходится при s
>1 и расходится при s