Определение характеристик при выборочном накоплении со случайным периодом обнуления

При выборочном накоплении и случайном периоде обнуления решающая функция второго уровня образуется двумя составляющими , , j=1,2,… Исходя из логической и функциональной характеристики LMI, решающие функции при выборочном накоплении и случайном периоде обнуления описываются следующим образом:

(20)

(21)

Первая составляющая применяется для определения момента обнуления, а вторая составляющая – для принятия решения относительно обнаружения нарушения целостности соединения.

При каждом значении j вторая составляющая сравнивается с порогом второго уровня N392. Если выполняется неравенство , то принимается решение о появлении дефекта, в противном случае формируется решение об отсутствии дефекта и сравнивается значение первой составляющей со значением (N393-N392+1). Как только последние указанные значения становятся равными, осуществляется обнуление обеих составляющих

(22)

где j* – случайный дискретный момент времени обнуления.

Введение величины (N393-N392+1) в процедуру формирования решающей функции второго уровня мотивируется тем фактом, что при фиксированной размерности выборки N393 получаемые дополнительно результаты анализа процессов прохождения контрольных кадров не повлияют на характер принимаемого решения относительно целостности соединения.

В таком варианте системы принятия решений размер выборки результатов анализа значений решающей функции первого уровня при накоплении является случайной величиной.

При указанных преобразованиях основой для построения показателей качества является выражение для среднего числа шагов до принятия возможных решений, которое получается через производящую функцию для распределения вероятностей дискретного времени окончания экспериментов в подобных условиях

. (23)

где – среднее число шагов до принятия решения;

– производящая функция.

Определение указанной производящей функции выполнено Левиным Б.Р. в [3] и выражено в [2] через функцию распределения вероятностей биномиального закона

. (24)

где – вероятность появления единицы при бинарном обнаружении.

Применительно к локальному интерфейсу управления событию появления единицы соответствует ситуация, связанная с получением некорректного кадра или неполучением соответствующего кадра по истечении временного интервала тайм-аута.

Первая производная от функции , определяемой выражением (24), при z=1 представляется соотношением

(25)

.

Соотношение (25) соответствует такой ситуации, когда условия проведения обнаружения не изменяются в течение интервала, отсчитываемого с момента начала наблюдения и до момента принятия первого решения. При проверке целостности соединения указанная ситуация проявляется в том случае, если момент появления дефекта совпадает с моментом обнуления решающей функции на втором уровне.

Вариации в указании вероятности , отвечающие возможным событиям на первом уровне принятия решений при проверке целостности соединения в условиях отсутствия и наличия дефекта, приводят к нахождению частных показателей качества обнаружения , :

(26)

,

(27)

,

где – вероятность приема некорректного кадра или его отсутствие по истечении временного интервала тайм-аута при отсутствии дефектов;

– вероятность приема некорректного пакета или его отсутствие по истечении временного интервала тайм-аута при наличии дефекта.

Соотношения (26), (27) могут использоваться для вычисления значений искомых показателей при N392>2. В соответствии с процессом получения частных показателей выражение (27), определяющее , соответствует случаю совпадения момента появления дефекта и момента обнуления решающей функции на втором уровне. В противном случае указанное выражение является приближением для среднего числа шагов запаздывания в обнаружении нарушения целостности соединения.

Учитывая характер получаемых результатов при исследовании первого варианта двухуровневой системы принятия решений, в качестве приближения для определения вероятности ложного обнаружения может использоваться величина, обратно пропорциональная :

. (28)

На рис. 4, 5 приведены соответственно зависимости lg( ) от при [10^-710^-10] и lg( ) от для ряда значений . Они продемонстрировали те же тенденции, что и при первом варианте двухуровневой системы принятия решений.

Рис. 4. Зависимость lg( ) от

Очевидно, что для практики интересен случай малых значений p₁. Применительно к такому случаю проанализируем соотношение (26).

Рис. 5. Зависимость lg( ) от

Рис. 6. Характеристики обнаружения

Поскольку первое слагаемое сравнимо с первым сомножителем у второго слагаемого и , то им можно пренебречь. Тогда при :

.

Вычитаемое в последнем выражении не превосходит по значению величины (N393-1). Следовательно, при приближение для приобретает следующий вид

. (29)

Далее найдем приближение для разности . Согласно соотношению (3) при имеем

,

(30)

. (31)

Поскольку , то

. (32)

После подстановки (32) в (31) найдем, что

.

Тогда приближенно определяется следующим выражением

(33)

.

Анализ значений относительной погрешности определения показал, что полученным приближением можно пользоваться даже при небольших значениях порога второго уровня. К примеру, относительная погрешность оценивания при =10^-2, N392=2, N393=10 не превышает 17%. По мере увеличения порога второго уровня относительная погрешность вычисления значения по формуле (33) снижается. Так при =10^-2, N392=9, N393=10 относительная погрешность равняется 7%.

По аналогии с ходом рассуждений, приводящих к нахождению соотношения (33), получается приближение для определения при

(34)

.

Однако наряду с рассмотренной ситуацией, при определении представляет интерес для практики и такой случай, когда .

При вероятность устремляется к нулю, поэтому согласно (27)

(35)

.

После приведения подобных членов соотношение (35) преобразуется к виду

. (36)

При и близком к единице вычитаемым в последнем соотношении можно пренебречь. Тогда

. (37)

Достаточно простое выражение для определения получается и в другом частном случае, когда .

В указанных условиях пригодны приближения

.

После элементарных преобразований (27) с учетом этих приближений получается следующее соотношение

.

На рис. 6 приведены характеристики обнаружения нарушения целостности соединения, построенные на основе соотношений (26), (27). Причем

. (38)

Анализ построенных зависимостей показывает, что характер влияния отношения на характеристики обнаружения при выполнении указанных условий остается таким же, как и при выборочном накоплении с детерминированным периодом обнуления.

При известных значениях вероятностей , параметры N392, N393 целесообразно выбирать согласно условию

При , используя асимптотические формулы, удается явно выразить зависимость от .

Учитывая приближение

согласно (29) имеем

. (39)

В соответствии с (39)

. (40)

Если выразить N393 через на основании (40) и подставить в (37), то получается явная аналитическая зависимость от

. (41)

Представленная система аналитических моделей позволяет определить средние времена до принятия решений о нарушении целостности соединений и выявляет их зависимость от параметров, используемых для синхронизации процедур управления LMI, при выборочном накоплении результатов анализа процессов прохождения контрольных кадров в условиях случайного периода обнуления решающей функции второго уровня.