- •2.Вычисление двойного нтеграла в декартовых координатах.
- •5. Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7. Механические приложения двойного интеграла.
- •8. Определение и свойства тройного интеграла.
- •4)Если в области r,то ;
- •5)Если в области r и , то ;
- •6)Если на r и области r и s являются непересекающимися , то . Здесь означает объединение этих двух областей.
- •10.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11. Тройной интеграл в сферических координатах.
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •14.Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •16.Приложения кри(1-2)
- •17.Поверхностный интеграл 1-го рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода.
- •19.Формула Стокса
- •20. Пови-2 по замкнутым поверхностям. Формула Астроградского.
- •21.Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •22.Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •23. Понятие векторного поля. Векторные линии векторного поля.
- •24.Циркуляция и ротор векторного поля.
- •25.Поток и дивергенция векторного поля.
- •26.Оператор Гамильтона и некоторые его применения.
- •27.Потенциальное,соленоидальное и гармоническое векторные поля.
- •28.Понятие числового ряда и его суммы. Свойства числовых рядов.
- •29.Необходимый признак сходимости ряда.
- •30.Интегральный признак Коши.
- •31.Признак сравнения рядов с положительными членами.
- •32.Признак Даламбера.
- •33.Радикальный признак Коши
- •34.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •35.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •36.Функциональные ряды. Свойства правильно сходящихся рядов.
- •37.Степенные ряды. Область сходимости.
- •38.Свойства степенных рядов.
- •39.Ряды Тейлора и Маклорена.
38.Свойства степенных рядов.
Сформулируем без доказательства основные свойства степенных рядов.
1)Сумма степенного ряда (7.3) является непрерывной функцией в интервале сходимости .
2)Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно и , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из числе и .
3)Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать. Для ряда
при
. (7.6)
4)Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. Для ряда (7.3) при выполняется равенство
Ряды (7.6) и (7.7) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. Перечисленные свойства остаются справедливыми и для степенных рядов вида .
39.Ряды Тейлора и Маклорена.
Для приложений важно уметь данную функцию представлять в виде суммы степенного ряда.Для любой функции , определенной в окрестности точки и имеющей в ней производные до -го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:
,
где , остаточный член в форме Лагранжа. Причем число можно записать в виде , где .
Формулу (7.8) можно записать в виде
,
где многочлен Тейлора.
Если функция имеет производные любых порядков (т.е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при ( ), то из формулы Тейлора получается разложение функции по степени , называемое рядом Тейлора:
Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням в так называемый ряд Маклорена:
Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции ;он может оказаться расходящимся или сходится, но не к функции .
В следующей теореме (которую примем без доказательства) сформулировано необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к функции .
Теорема Для того чтобы ряд Тейлора (7.9) функции сходился к функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (7.8) стремился к нулю при , т.е. чтобы .
Для разложения функции в ряд Маклорена (7.10) нужно:
найти производные ;
вычислить значения производных в точке ;
выписать ряд (7.10) для заданной функции и найти его интервал сходимости;
найти интервал , в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.