Bilety_Metrologia

25. Параметры распределений случайных погрешностей. Начальный и центральный моменты.

Моменты распределения – параметры законов распределения.

Моменты делятся на начальные и центральные.

Начальные моменты:

У начальных моментов есть конечное начало относительно нулевой точки системы координат. Формула начального момента r-го порядка.

1-й начальный момент mx = M[X] – математическое ожидание.

Центральные моменты: Центральный момент r-го порядка

26. Моменты распределения случайных погрешностей. Неравенство Чебышева.

(РМГ 29-99) Погрешность измерений – отклонение результата измерений от истинного значения измеряемой величины.

(РМГ 29-99) Систематическая погрешность – составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.

(РМГ 29-99) Случайная погрешность – составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины

(Калеев, лекции) Систематическая погрешность – отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой величины

(Калеев, лекции) Случайная погрешность – разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов

Тогда истинное значение:

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных погрешностей прибегают иногда при исследовании принципиально новых мер и измерительных приборов.

Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами

Начальным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида:

∞

∞

представляющий собой математическое ожидание степени .

При n=1, первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов измерений:

1

Центральным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида:

∞

μ

∞

Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений.

Дисперсия D[X] случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:

С помощью среднеквадратического отклонения можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной

27. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонения результата наблюдения.

Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами

Начальным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида:

∞

∞

представляющий собой математическое ожидание степени .

При n=1, первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов измерений:

1

Центральным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида:

∞

μ

∞

Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений.

Дисперсия D[X] случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:

29. Дифференциальный и интегральный законы распределения случайных погрешностей. Равномерный закон плотности распределения.

Равномерный закон распределения.

Равномерное распределение – распределение случайной вещественной величины, принимающей значения, принадлежащие интервалу [a, b], характеризующееся тем, что плотность вероятности на этом интервале постоянна.

Пусть ,

Закон плотности распределения вероятностей:

Функция распределения:

30. Точечные оценки истинного значения измеряемой величины при многократных измерениях. Оценки моментов законов распределения. Критерии качества оценок.

Выборка – ряд значений, принимаемых величиной в опытах.

На конечной выборке невозможно определить ни мат. ожидание, ни дисперсию, а только их оценки.

Оценки моментов распределения – это не есть упрощение формул, их предлагают, а затем определяют, насколько эта оценка хороша.

Оценку âпараметра а назовем точечной, если она выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величины, в том числе от самого оцениваемого параметра и от числа опытов n.

Критерии качества оценки:

1)Оценка называется состоятельной, если при увеличении количества наблюдений она приближается, сходится по вероятности, к самому оцениваемому результату.

2)Оценка называется несмещенной, если ее мат. ожидание равно самому оцениваемому параметру.

3)Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше, дисперсии всех других оценок, предложенных к рассмотрению.

31. Оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Математическое ожидание

M X xp x dx - глядя на это, предлагается оценка:

выборки.

В качестве оценки мат. ожидания предлагается среднее арифметическое. Возьмем мат.

Мат. ожидания отдельных наблюдений одинаковы, так же как и их характеристики рассеивания.

Т.е. i, j M X i M X j M X и i, j D Xi D X j D X .

Тогда 1 n M Xi M X - т.е. среднее арифметическое является несмещенной оценкой n i 1

мат. ожидания.

арифметическое обладает минимальной дисперсией. Т.е. данная оценка является эффективной. При увеличении n эта оценка сходится (стягивается по вероятности) к мат. ожиданию.

Поэтому средняя арифметическая оценка является состоятельной. Т.е. она является несмещенной, состоятельной и эффективной.

Дисперсия.

Естественно предположить, что в качестве оценки дисперсии необходимо взять величину

n i 1

Теперь возьмем мат ожидание от предложенной нами оценки дисперсии:

Подставив, получим:

D x Dnx nn 1D x M D x .

Это исследование показывает, что предложенная оценка - смещенная на коэффициент

n 1 i 1

При неограниченном увеличении n эта оценка стремится к самой величине. Т.е. эти оценки состоятельные.