2.5 Розв'язок обернених геодезичних задач для орієнтування знімальної мережі

Пряма геодезична задача. Якщо відомі координати вихідної точки А(Х_А, Y_A), дирекційний кут лінії АВ (_АВ) та довжина лінії d_АВ (рис.2.6), то можна обчислити координати кінцевої точки В за формулами:

. (2.15)

Прирости координат х та Dу згідно рис. 2.7 визначаються за формулами:

. (2.16)

Рис.2.6 - Геометрична схема прямої та оберненої геодезичних задач

Приклад. Відомо Х_А = 6066275 м; Y_А = 43112398 м; a_АВ = 48^о15; d_АВ = 308,65 м. Визначити координати точки В. За формулами 2.15; 2.16 отримаємо:

Х_В = Х_А + d_АВcosa_АВ = 6066275 + 308,65  cos 48^o15 = 6066534,9 м;

Y_В = Y_А + d_Аsina_АВ = 4312396 + 308,65  sin 48^o15 = 4312626,3 м.

Обернена геодезична задача. При проектуванні та розмічуванні інженерних споруд на місцевості виникає задача визначення довжини лінії d_АВ та дирекційного кута a_АВ за відомими координатами кінцевих точок (Х_А, Y_А; Х_В, Y_В). Шукані величини визначаються із прямокутного трикутника АВС (рис. 2.6) за формулами:

а) румб лінії

, (2.17)

або . (2.18)

Величина дирекційного кута визначиться за формулами згідно рис. 2.7.

Рис.2.7 - Зв’язок між румбами і дирекційними кутами

б) довжина лінії

; . (2.19)

Окрім того, із рис. 2.6 за теоремою Піфагора визначимо:

. (2.20)

Контроль: сума приростів координат в замкненому ході = 0. Довжини ліній можуть бути виміряні з похибкою, тому обчислюють врівноваження довжин ліній полігону.

Після обчислення приростів координат приступають до їх вирівнювання, обчислюють нев’язку окремо по вісях Х та У.

Алгебраїчна сума приростів координат повинна дорівнювати «0» в замкненому ході. Але із-за похибок з’являється лінійна нев’язка. f_Δx та f_Δy. Які повинні бути менше допустимої похибки (приклад: точки 1′ і 1).

Лінійні нев’язки:

(2.21)

Але величина нев’язок fΔx та fΔy ще не говорить про точність вимірювання та обчислень. Для цього обчислюють відносну нев’язку за формулою:

(2.21)

Р – периметр всього полігону (сума довжин ліній), м

f_абс - абсолютна нев’язка, гіпотенуза трикутника, в якого катетами є fΔx та fΔy :

(2.23)

Якщо умова виконується , то значить довжини ліній виміряні з допустимою похибкою і нев’язки по вісях (fΔx та fΔy) розподіляють у вигляді поправок з протилежними знаком та пропорційно довжині ліній.

P - fΔx

d₁ - V_Δxi ; звідки ; , (2.29)

де d_i – довжина даної лінії, м

P - периметр всіх ліній, м

fΔx – нев’язка по вісі Х, м

VΔx_i - поправка по вісі Х, м

fΔy - нев’язка по вісі У, м

VΔy_i - поправка по вісі У, м

Контроль: сума поправок в прирости координат повинна дорівнювати нев’язці з протилежним знаком.

Таблиця 2.2 - Відомість координат ( замкнений хід)

№ пунктів	Внутрішні кути				Дирекційн кути α		Румби			Довжи- ни ліній м	Приростки координат								Координати				№пункт
	виміряні		виправлені								Обчислені				Виправлені
	º	′	º	′	º	′	Наз.	º	′		±	∆x	±	∆y	±	∆x	±	∆y	±	X	±	Y
1	-	-	-	-															+	100,00	+	200,00	1
					200	48	ПдЗ	20	48	185,38	-	-0,04 173,30	-	-0,04 65,83	-	173,34	-	65,87
2	138	+0,2 57,8	138	57															-	73,34	+	134,13	2
					241	50	ПдЗ	61	50	184,35	-	-0,04 87,02	-	-0,04 162,51	-	87,06	-	162,55
3	122	+0,5 56,5	122	57															-	160,4	-	28,42	3
					298	53	ПнС	61	07	168,00	+	-0,04 81,15	-	-0,04 147,10	+	81,11	-	147,14
4	90	01,0	90	01,0															-	79,29	-	175,56	4
					28	52	ПнС	28	52	179,00	+	-0,04 156,75	+	-0,04 86,42	+	156,71	+	86,38
5	188	+0,2 47,8	188	48															+	77,42	-	89,18	5
					20	04	ПнС	20	04	155,90	+	-0,04 146,43	+	-0,03 53,50	+	146,39	+	53,47
6	82	+0,5 21,5	82	22															+	223,81	-	35,71	6
					117	42	ПдС	62	18	266,27	-	-0,04 123,77	+	-0,04 235,75	-	123,81	+	235,71
1	96	+0,2 53,8	90	54															+	100,0	+	200,0	1
					200	48				Р = 1138,9	Σ ∆x=+384,33 Σ∆x=-384,09		Σ∆y=+375,67 Σ∆y=-375,44			0		0
Σβпр	=719	58,4	Σβв	=
Σβт	=720	00	720	00
fβпр = Σβпр - Σβт=719058,4′-7200= =0001,6′											абсf = 0,33
Допfβ =±2t√n =±2*30″ √6 = = ±00 02,4′											відн.f=

Виконав(ла)________________ст._____курсу ____гр._________________факультету___________________________

Таблиця 2.3 - Відомість координат (Діагональний хід)

№№ пунктів	Внутрішні кути				Дирекційні кути, α		Румби r			Довжи- ни ліній, м	Приростки координат								Координати				№№ пунктів
	виміряні		виправені								Обчислені				Виправлені
	º	′	º	′	º	′	Наз.	º	′		±	∆x	±	∆y	±	∆x	±	∆y	±	X	±	Y
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
1
					200	48
2	86	-0,2 58,2	86	58															-	73,34	+	134,13	2
					293	50	ПнЗ	66	10	91,20	+	-0,03 36,85	-	+0,06 83,42	+	36,82	-	83,36
7	164	0,0 38	164	38															-	36,52	+	50,77	7
					309	12	ПнЗ	50	48	95,00	+	-0,03 60,04	-	+0,04 73,62	+	60,01	-	73,58
8	179	-0,5 59,5	179	59															+	23,49	-	22,81	8
					309	13	ПнЗ	50	47	85,35	+	-0,03 53,96	-	+0,04 66,13	+	53,93	-	66,09
5	109	-0,5 09,5	109	09															+	77,42	-	89,18	5
					20	04				Р = 271,55	=150,85		=-223,17
6
					теор=Х5 - Х2 = 77,42-(-73,34) =150,76 теор=(-89,18) - (+134,13) =-223,31
= 540º45,2′			=540º44′
					=пр-теор=150,85-150,76=0,09 =пр - теор= -223,17- (-223,31)=-0,14
== =200 º 48′+180*4-200 º 04′ =540 º44′
=- =
= 540 º 45,2′ - 540 º 44′ = 001′,2
доп=±2*30= =±0º02
≤доп					n – кількість кутів
					n = 4

Виконав(ла)_______________________студ._____курсу____групи _____________________факультет

3 ГЕОМЕТРИЧНЕ НІВЕЛЮВАННЯ

3.1 Суть і методи нівелювання

Суть нівелювання, як виду геодезичних робіт, полягає у визначенні перевищень між окремими точками земної поверхні з наступним обчисленням їх висот.

Методи нівелювання:

1. Геометричне - горизонтальним променем.

2. Тригонометричне – похилим променем (теодоліт або НЛ-3).

3. Фізичне – (барометричне, гідростатичне).

4. Механічне (за допомогою нівелір-автоматів).

5. Фотограмметричне – при наземній, аеро - чи космічній зйомці.

3.2 Способи геометричного нівелювання

На практиці точки, між якими потрібно визначити перевищення, розміщені на великих віддалях. Тоді для передавання перевищення роблять не одну станцію, а декілька, інколи десятки станцій. Таке нівелювання називають прокладанням нівелірного ходу. Під час прокладання нівелірного ходу нівелювання виконують методом «із середини». Розрізняють два способи геометричного нівелювання: «із середини» і «вперед».

Нівелювання із середини. Між закріпленими точками місцевості А і В встановлюють нівелір так, щоб відстані до точок були однаковими. В точках А і В вертикально встановлюють рейки. Нівелір приводять в робоче положення. Візують на задню рейку в точці А і в нівелірах з циліндричним рівнем еліваційним гвинтом приводять бульбашку рівня до “нуль-пункту”. Беруть відлік а (рис.3.2). Повертають зорову трубу на точку В і так само беруть відлік b.

Перевищення між точками h_AB обчислюється за формулою:

h_AB = a – b. (3.1)

Якщо відома позначка Н_А висоти точки А, то позначка точки В визначиться за формулою:

Н_В = Н_А + h_AB. (3.2)

Висоту горизонта нівеліра (візирного променя) Н_ГП обчислюють за формулою:

Н_ГП = Н_А + а, (3.3)

або Н_ГП = Н_В + b. (3.4)

Тоді висоту точки В можна визначити за формулою:

Н_В = Н_ГП – b. (3.5)

Рис. 3.1 - Схема геометричного нівелювання із середини

Нівелювання вперед. При нівелюванні вперед в точці А встановлюють нівелір, а в точці В – рейку (рис.3.2).

Рис. 3.2 - Схема способу нівелювання вперед

Приводять нівелір в робоче положення. Беруть відлік по рейці b та вимірюють висоту нівеліра і (рис.3.2).

Шукане перевищення h_AB обчислюють за формулою:

h_AB = і – b. (3.6)

Відповідно обчислюють: позначку горизонту приладу

Н_ГП = Н_А + і, (3.7)

позначку точки В:

Н_В = Н_А + h_AB, (3.8)

або Н_В = Н_ГП - b. (3.9)

Складне або послідовне нівелювання. При визначенні перевищень між точками на великих відстанях або великих перевищень на крутих схилах місцевості застосовують складне або послідовне нівелювання (рис.3.3)

.

Рис. 3.3 - Послідовне нівелювання

Між кінцевими точками А і В тимчасово закріплюють так звані “іксові” точки х₁, х₂, ..., х_п за допомогою дерев’яних кілків, башмаків тощо. Виконують нівелювання із середини між усіма суміжними точками і отримують відліки а₁,b₁; а₂,b₂; …; а_n,b_n. Перевищення між суміжними точками визначають за формулою:

h_i = a_i – b_i. (3.10)

Загальне перевищення між точками h_А,В обчислюють за формулою:

(3.11)

Отримане перевищення h_АВ контролюють за формулою:

(3.12)

Геометричне нівелювання – виконують горизонтальним променем візування, використовуючи нівелір ( рис.3.3) та рейку.

Нівелір – це оптико-механічний прилад для побудови в просторі горизонтального променя. Робочими мірами для вимірювання перевищень служать нівелірні рейки. Відповідно до стандарту ГОСТ 10528-90 випускаються три типи рейок: РН-05; РН-3; РН-10. Шифр “РН” означає рейка нівелірна, а число вказує на середню квадратичну похибку вимірювання перевищень на 1 км подвійного ходу. За їх допомогою можна визначити перевищення.

Рис. 3.4 - Нівелір Н-3

а – загальний вигляд; б – вигляд з боку камери циліндричного рівня

1 – зорова труба; 2 – закріпний гвинт труби; 3 – навідний гвинт труби; 4 – підставка нівеліра з підйомними гвинтами; 5 – виправні гвинти круглого рівня; 6 – еліваційний гвинт труби; 7 – круглий рівень; 8 – гвинт фокусування (кремальєрний) труби; 9 – камера циліндричного рівня; 10 – виправні гвинти циліндричного рівня; 11 – заслінка циліндричного рівня; 12 – циліндричний рівень; 13 – штатив.

3.4 Порядок роботи з нівеліром на станції

Визначення перевищення на станції технічного нівелювання виконують у такій послідовності:

1.Нівелір встановлюють посередині між двома точками ( з точністю до 5м). Приводять нівелір у робоче положення по круглому рівню за допомогою підйомних гвинтів.

2.Встановлюють рейки в точках у вертикальному положенні.

3.Візують на задню рейку в точці А. Обертанням еліваційного гвинта суміщають кінці бульбашки циліндричного рівня і беруть відлік по чорній стороні рейки 0440(1).

3.Візують на передню рейку в точці В і так само беруть відлік по чорній стороні рейки 2080(2).

4.Повертають передню рейку червоною стороною і беруть відлік 6858(3).

5.Візують на задню рейку в точці А і беруть відлік по червоній стороні 5220(4).

6.Візують на проміжні точки (+20) і беруть відлік С тільки по чорній стороні рейки 1144(5).

Відліки з рейок записують в журнал встановленої форми ( табл.3.1) і виконують польовий контроль відліків з рейок. Різниця між відліками по червоній і чорній сторонах рейки повина давати «п’ятку» рейки, що дорівнює 4684 або 4784мм. "П'яткою" рейки називають різницю червоного та чорного відліків рейки, встановленій на одній точці.

Далі обчислюють перевищення. Перевищення визначається як різниця заднього відліку а і переднього b.

h = а – b. (3.13)

Для обчислення використовують відліки, як по чорній (α, b ), так і по червоній (α_к, b_к) сторонах рейки. Таким чином, для кожного перевищення знаходять два його значення:

- за чорними відліками (6)

h_ч = a_ч – b_ч; (h_ч = 0440 – 2080 = -1640);

- за червоними відліками (7)

h_чер = a_чер – b_чер; (h_чер = 5220 – 6858 = -1638).

Обчислені значення перевищень не повинні відрізнятися більше ніж на 5 мм. Якщо h_ч - h_чер £ |5| мм; (-1640 + 1638) = -2 < |5|мм, то вимірювання виконані правильно. В противному разі вимірювання повторюють, а попередні закреслюються.

Таблиця 3.1 - Журнал технічного нівелювання

Дата: 25.07.15 р. Погода: хмарно. Виконавець Чуланов П.О.

№ станції	№№ точка спостереження пікетів плюсових точок	Відліки по рейці, мм			Перевищення, мм		Горизонт приладу НГП (см)	Познач-ки, Н (м)
		задній З	Про- між- ний	Перед- ній П	h = З - П	Серед- нє
	А	0440 (1)					110,455(10)	110,015
1		5220(4)			-1640(6)	-1639(8)
	В			2080(2)	-1638(7)			108,376(9)
				6858(3)
+20			1144(5)					109,311 (11)

(1), ..., (11) – порядок взяття відліків та обчислень.

Обчислюють:

- середнє перевищення (8)

;

- позначку висоти точки B (9)

- позначку висоти горизонту приладу (10)

Н_ГП = Н_А + а_ч = 110,015 + 0,440 = 110,455;

- позначку висоти проміжної точки (11)

Н₊₂₀ = Н_ГП – С = Н_ГП – (5),

Н₊₂₀ = 110,455 – 1,144 = 109,311.

При використанні електронних нівелірів за заданою програмою автоматично виконується збір, зберігання та обробка результатів вимірів.

За методикою та точністю розрізняють нівелювання І, ІІ, ІІІ, ІV класу та технічне нівелювання. Їх точність характеризується середньою квадратичною похибкою m_h визначення перевищення на 1 км подвійного ходу та допустимою нев’язкою по ходу f_hq :

І кл – виконується з можливою найвищою точністю;

ІІ кл - m_h   5 мм на 1 км; , мм;

ІІІ кл - m_h   10 мм на 1 км; ,мм;

ІV кл – m_h £ ± 20 мм на 1 км; ,мм,

Технічне нівелювання – m_h £ ± 50, мм.

де Lкм – довжина ходу або полігону в кілометрах.

4 ІНЖЕНЕРНО-ГЕОДЕЗИЧНІ РОБОТИ ПРИ НІВЕЛЮВАННІ ТРАСИ

4.1 Підготовка траси для нівелювання

Трасою називають поздовжню вісь майбутньої лінійної споруди, яку проектують. Підготовка траси до нівелювання складається з рекогностування траси, трасування ( визначення напрямку та закріплення траси на місцевості), її провішування, вимірювання горизонтальних кутів поворотів та румбів ділянок траси, а також розмічування пікетажу по трасі та її планово-висотної прив’язки.

Рекогностування траси виконують на місцевості з метою уточнення запроектованих попередньо на топографічних картах напрямків траси, точок повороту траси з врахуванням технічної та економічної доцільності при проведенні будівельних робіт.

Трасування починають з відкладання з початкової точки траси запроектованого напряму на першу вершину кута повороту. Азимут напрямку відкладають з допомогою бусолі або теодоліта з накладною бусоллю.

Одночасно з трасуванням виконують в разі потреби і провішування напрямків – виставлення віх в створі напрямку ( інструментально – з допомогою теодоліта) способом « на себе».Після закріплення на місцевості кілками всіх вершин поворотів траси через ці точки прокладають теодолітний хід із плановою прив’язкою початкової і кінцевої точок траси до точок місцевості, координати якіх відомі.

Підготовка траси до нівелювання включає також розмічування пікетажу.

Пікетом називають відстань ( горизонтальне прокладання) на місцевості по осі траси довжиною 100 м. Ця відстань закріплюється на трасі пікетними точками ( кілки зі сторожками, на яких зазначений їх номер). Нумерація пікетів рочинається від початкової точки траси, яка позначається як нульовий пікет (ПК0). Систему позначень точок по осі траси, яка означає відстань від початку траси до даної точки прийнято називати пікетажним позначенням (наприклад: ПК5 – 5х100= 500 м від ПК0).

Рис.4.1 – Розмічування пікетажу

Початковий і кінцевий пікети прив’язують нівелірним ходом до точок геодезичної мережі (реперів) без розбивки на пікети. Характерні точки злому місцевості між пікетами також закріплють кілочками і називають їх плюсовими точками (приклад ПК0+50 або ПК1+30).

Вершини кутів повороту траси позначають ВК-1, ВК-2. Кути повороту вимірюють теодолітом (30-секундним) способом повного прийому, а довжини ліній – стальною мірною стрічкою.

Одночасно з розбивкою пікетажу складають пікетажний журнал, в якому записують результати всіх вимірювань, визначають розміри кутів повороту траси, номери всіх пікетів і плюсових точок, а також креслять абрис зйомки ситуації смуги землі вздовж осі траси. Показують репери та їх висотні позначки і відстані від пікетів.

Рис.4.2 – Пікетажний журнал

Вказують кут повороту траси з розрахунком всіх параметрів кривої. Трасу орієнтують за магнітним азимутом за допомогою бусолі. Азимут кінцевої ділянки (при правому повороті) визначають, як суму значення азимута початкової лінії α_n плюс кут повороту θ. При лівому повороті – від початкового кута віднімають кут повороту θ.

4.2 Головні точки колової кривої та їх розрахунок

В журналі, крім результатів знімання ситуації та позначення на осі всіх точок профілю, фіксують також розрахунки кривих в пікетажних позначеннях. (рис.4.3)

Рис. 4..3 - Головні елементи та точки колової кривої

Головні точки кривих: ПК – початок кривої СК – середина кривої КК – кінець кривої ВК – вершина кута Елементи кривих кут повороту траси Θ радіус колової кривої R тангенс Т крива К бісектриса Б домір Д

Значення елементів колових кривих розраховують за формулами:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Д = 2Т - К; (4.4)

де Т – тангенс, К – крива, Б – бісектриса, Д – домір.

або можна отримати за допомогою спеціальних таблиць "Таблицы для разбивки круговых кривых". За значеннями елементів кривих розраховують пікетажні позначення головних точок кривої, які мають практичне значення для майбутніх будівельних робіт і мають бути закріплені на осі траси. Розрахунок здійснюють за формулами:

ПК = ВК-Т; (4.5)

КК = ПК + К; (4.6)

Контроль: КК = ВК+Т-Д (4.7)

Приклад. Виконати розрахунок колової кривої для Θ = 23°15' і R= 200 м. Вершина кута повороту траси (ВК) знаходиться на ПК6 + 45 (Дод. 4).

З "Таблиц для разбивки круговых кривых" для Θ = 23°15' і R = 1000 м вибираємо значення: Т = 205,73 м ; К = 405,79 м; Д = 5,66 м; Б = 20,94 м.

Для R = 200 м одержуємо значення:

Т = 205,73 × 0,2 = 41,15 м ; К = 405,79× 0,2 = 81,16м;

Д= 5,66 × 0,2= 1,14 м; Б = 20,94× 0,2 = 4,19 м.

За формулою (4.4) проконтролюємо правильність одержаних значень:

Д = 2Т – К = (41,І5 × 2) - 81,16 = 1,14м.

Результати розрахунку записують в пікетажному журналі у такому вигляді:

Основний		Контрольний
ВК ПК6+45,00		ВК ПК6+45,00
-Т 41,15		+Т 41,15
ПК ПК6+03,85		ПК6+86,15
+К 81,16		–Д 1,14
КК ПК6+85,01		КК ПК6+85,01

Розходження в положенні кінця кривої допускають 1 см.

Одержані елементи кривих записують під зображеннями колових кривих або над ними (графа 5 сітки профілю). Їх викреслюють зверху відносно осі траси для правих кутів повороту, знизу - для лівих (рис. 4.4).

Рис.4.4 - Приклад зображення колових кривих на профілі

Початок та кінець колової кривої ''прив'язують" до пікетів, як показано на рис. 4.4. Для визначення загальної довжини траси сумують довжини всіх прямих відрізків Р і кривих К..

Контролем обчислень загальної довжини траси є рівняння:

∑P + ∑K = ∑S - ∑Д, (4.8)

де Р — довжини прямих вставок; К - довжини колових кривих; S - віддалі між вершинами кутів повороту траси; Д- довжини домірів.

Значення прямих вставок записують над осьовою лінією траси (графа 5), а під лінією - їхні румби. Румб початкового напряму задають, а наступний обчислюють, враховуючи кут повороту траси: правий кут повороту додають, а лівий - віднімають.