Кругляк_Физика и моделирование нанотранзисторов_2018_314 стр_обложки
.pdfНа этом рисунке показаны эллипсоиды вращения изоэнергетических поверхностей в зоне проводимости кремния
E |
2k2 |
|
2ky2 |
|
2k2 |
|
|
x |
|
z |
. |
(80) |
|||
2m2 |
2m2 |
|
|||||
|
|
|
2m2 |
|
|||
|
xx |
|
yy |
|
zz |
|
Наименьшие энергии соответствуют шести различным ориентациям в зоне Бриллюэна вдоль трех координатных осей (долинное вырождение gv 6 ). Вводят две различных эффективных массы: тяжелая продольная (longitudinal)
эффективная масса |
m* |
и легкая поперечная (transverse) эффективная масса m* . |
||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
t |
Для Si m* 0.92m и |
m* |
0.19m . Например, для эллипсоидов, ориентированных |
||||||
l |
0 |
t |
|
|
0 |
|
|
|
вдоль оси х, m* |
m*, |
m* |
m* |
m*. |
|
|||
xx |
l |
|
yy |
zz |
t |
|
||
В соответствии со спектром энергий в прямоугольной потенциальной яме |
||||||||
|
|
|
|
|
n |
2n2 2 |
, |
(81) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2m*t2 |
|
энергии подзон определяются значением эффективной массы – той, которая соответствует выделенному направлению, вдоль которого наложено ограничение, т. е. вдоль направления у в нашем случае. Как видим из рис. 16, для Si (100) с ограничением вдоль оси у двум эллипсоидам из шести соответствуют тяжелые массы ml* и четырем – легкие mt* . В результате имеем две различные серии подзон – нештрихованные уровни энергии, определяемые массой ml* и вырождением gv 2 , и штрихованные, определяемые массой mt* и вырождением gv 4 . Наинизшая подзона с n 1 нештрихованная. В простом примере, рассматриваемом далее, предполагается, что занята только нижняя нештрихованная подзона с массой ml* вдоль оси у и массой mt* в плоскости xz.
Сначала вычислим некоторые нужные нам величины. Для подзоны
проводимости с n 1 эффективная масса m* m* . Для дырок в первой валентной |
||
|
|
l |
подзоне m* m* |
. Из (81) находим |
|
hh |
|
|
|
c 0.016 эВ, |
v 0.028 эВ. |
|
1 |
1 |
Квантовые ограничения увеличивают эффективную запрещенную зону,
поскольку дну зоны проводимости |
теперь соответствует энергия |
E c , а |
|||
|
|
|
|
|
C 1 |
потолку валентной зоны – энергия E v |
. Эффективная запрещенная зона для |
||||
|
|
V |
1 |
|
|
структуры ETSOI будет |
|
|
|
|
|
E |
E |
c v 1.169 эВ. |
(82) |
||
G |
G |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
110 |
|
|
Эффективная 2D плотность состояний дается формулой (68). Для первой подзоны зоны проводимости долинное вырождение равно двум, а эффективная
масса в плоскости xz есть m* |
, так что эффективная масса m* |
2m* |
в (68). Для |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
D, 1 |
t |
|
валентной зоны g |
v |
1 |
и m* |
|
m* |
. Окончательно из (68) имеем: |
|
|
||||||||
|
|
D, 1 |
|
hh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
N21,Dc 4.11 1012 см 2, |
N21,Dv 5.84 1012 см 2. |
|
(83) |
|||||||||||
Из (73) и (75) находим поверхностную плотность носителей тока: |
||||||||||||||||
|
|
n |
N1c e(EF EC 1c )/kT , |
р |
N1v e(EV EF 1v )/kT . |
|
(84) |
|||||||||
|
|
S |
2D |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
2D |
|
|
|
Перемножая эти плотности, получаем квадрат собственной плотности |
||||||||||||||||
|
|
|
|
n р N1c |
N1v e EG /kT n2 |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
S |
S |
|
2D |
2D |
|
Si |
|
|
|
||
который не зависит от положения уровня Ферми и |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e EG /2kT . |
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
N1c |
N1v |
[м 2 ] . |
|
|
|||||
|
|
|
n р |
|
|
|||||||||||
|
|
|
Si |
|
S |
S |
|
|
|
2D |
2D |
|
|
|
|
|
Обращает на себя внимание схожесть полученного выражения со стандартным выражением для внутренней плотности носителей тока в массивном полупроводнике [1]. Подставляя теперь все известные нам численные значения
N1 c |
, N1 v |
и E |
, получаем очень маленькую плотность собственных носителей |
|
2D |
2D |
G |
|
|
|
|
|
n 8.5 102 см 2 , |
(85) |
|
|
|
Si |
|
которая может быть подавлена зарядами на границе раздела Si/SiO2 |
или даже |
|||
случайными допантами в тонкой пленке кремния. |
|
Подвижный электронный заряд ниже порогового напряжения
Выражение для электронного заряда в зависимости от поверхностного потенциала Q( S ) , одинаково пригодное как ниже, так и выше порогового напряжения, было получено для массивной структуры MOS в виде уравнения (39), однако, в этих двух случаях и использовались разные выражения для среднего электрического поля. Рассмотрим ситуацию для структуры ETSOI, для которой, согласно (72),
Q( |
S |
) qn eq S /kT , |
(86) |
|
Si |
|
|
|
|
111 |
|
где предполагается, что фермиевский уровень располагается таким образом, что nS 0 nSi при S 0 . Выражение (86) справедливо как ниже, так и выше порогового напряжения.
Далее нам нужно увязать Q( S ) ниже порогового напряжения с напряжением на затворе. Структура DG ETSOI на рис. 13 симметрична относительно пунктирной линии, проходящей через середину тонкой кремниевой подложки. Половина электронного заряда в SOI локализуется под верхним затвором, а другая половина – над нижним затвором. Учитывая симметрию структуры DG, достаточно установить связь между напряжением на верхнем затворе с зарядом в верхней половине SOI. Начнем с общего уравнения (1), а именно:
V |
V |
|
S |
. |
(87) |
G |
ox |
|
|
|
По закону Гаусса, электрическое поле на верхней границе раздела Si/SiO2
E |
QS |
( S ) |
|
Q( S ) |
. |
(88) |
2s |
|
|||||
ox |
|
2s |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Падение потенциала на верхней оксидной пленке
|
Vox Eoxtox . |
|
|
(89) |
||
Из этих уравнений и из (5) следует, что |
|
|
|
|
||
V |
Q( S ) |
|
|
. |
(90) |
|
|
S |
|||||
G |
|
2Cox |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ниже порогового напряжения заряд подложки исключительно мал, так что падение напряжения на оксидной пленке Vox , можно считать, пренебрежимо мало, и можно было сразу вместо (87) записать, что
V |
S |
. |
|
|
(91) |
|
G |
|
|
|
|
|
|
В случае массивной структуры MOS |
|
S |
V |
/ m (30), где m 1 |
(31), однако, |
|
|
|
|
G |
|
|
в случае DG ETSOI m 1, что означает полный контроль затвора над поверхностным потенциалом и является преимуществом структуры DG ETSOI. Теперь, благодаря (91), общее выражение (86) в режиме VG VT таково:
Q( |
S |
) qn eqVG /kT . |
(92) |
|
Si |
|
112
Уравнение (92) определяет электронный заряд структуры DG ETSOI в подпороговом режиме. В случае массивной структуры MOS окончание режима слабой инверсии связывалось с уравниванием S и 2 B . Мы не можем пользоваться подобным критерием в случае ETSOI, поскольку эта структура не допирована. В этом случае можно утверждать, что при понижении первой
подзоны зоны проводимости таким образом, что E |
F |
E |
c , концентрация |
|
C |
1 |
электронов становится существенной. Уравнение (84) показывает, что при
выполнении |
этого |
условия |
n N1 c . |
|
|
|
В |
|
результате |
потенциал |
|||||||
|
|
|
|
|
|
S |
2D |
|
|
|
|
|
|
|
|||
полупроводниковой подложки в структуре ETSOI на входе в режим инверсии |
|||||||||||||||||
можно найти из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ( |
S |
) n eq S |
/kT N c |
, |
|
(93) |
|||||||||
|
|
S |
|
Si |
|
|
|
|
|
|
2D |
|
|
|
|||
откуда для потенциала при входе в режим инверсии имеем |
|
||||||||||||||||
|
|
|
inv kT ln |
N2cD |
. |
|
|
|
|
(94) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
S |
q |
|
|
nSi |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из уравнения (91) и учитывая рассуждения, которые привели к этому |
|||||||||||||||||
уравнению, при входе в режим инверсии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
V |
inv |
kT ln |
N2cD |
. |
|
|
(95) |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
T |
|
S |
q |
|
|
|
|
nSi |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из (95) и (92) окончательно имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
q(V V )/kT |
|
|
||||||
|
|
Q(VG ) CQ q e |
|
|
G |
T |
|
, |
(96) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C q2D |
|
|
|
|
|
|
|
|
(97) |
|||
|
|
|
|
|
Q |
|
|
2D |
|
|
|
|
|
|
|
называют квантовой ёмкостью, к обсуждению и использованию которой в качестве еще одного параметра ETSOI мы вернемся позже, а D2 D есть 2D плотность состояний применительно к структуре ETSOI со сверхтонкой подложкой.
Мы получили важный результат о зависимости электронного заряда ETSOI от напряжения на затворе (96), который полезно сравнить с аналогичной зависимостью (45) для массивной структуры MOS. В обоих случаях заряд в подпороговом режиме увеличивается экспоненциально с VG . Различие между этими двумя структурами в том, что для DG ETSOI характерен идеальный
113
подпороговый наклон m 1, тогда как для массивных структур MOS m 1.1 1.3. Это означает, что при одном и том же увеличении напряжения на затворе электронный заряд в структуре DG ETSOI растет быстрее, чем в массивной структуре MOS.
Для массивных MOSFET при входе в режим инверсии поверхностный потенциал S 2 B . Для структуры ETSOI этот критерий определяется уравнением (94). Насколько сравнимы Sinv для структуры ETSOI с Sinv 2 B для массивной структуры MOS? Подстановка расчетных данных (83) и (85) из предыдущего примера в уравнение (94) приводит к следующему результату:
|
kT |
|
N c |
|
4.11 1012 |
|
|
Sinv |
|
ln |
2D |
0.026 |
ln |
|
0.58 В , |
q |
|
2 |
|||||
|
|
n |
|
8.510 |
|
||
|
|
|
Si |
|
|
|
согласно которому можно ожидать, что q Sinv составляет примерно половину от ширины эффективной запрещенной зоны DG ETSOI (82). Поскольку уровень Ферми при S 0 был почти посередине запрещенной зоны (рис. 14), то nS 0 pS 0 nSi . Поверхностный потенциал при входе в режим инверсии такой, что он понижает EC 0 1c до EF , что и служит критерием для входа в этот режим.
В рассмотренном примере требуемый изгиб зон в режиме инверсии составляет примерно половину от ситуации в массивной структуре MOS, поскольку в последней уровень Ферми в р-Si располагается вблизи валентной зоны, так что изгиб зоны проводимости должен покрыть почти всю запрещенную зону для того, чтобы уровень Ферми совместился с зоной проводимости.
Подвижный электронный заряд выше порогового напряжения
Уравнение (86) справедливо как ниже, так и выше порогового напряжения. В рассмотренном выше случае (VG VT ) мы могли предполагать, что падение напряжения на оксидном слое незначительное и таким образом связать электронный заряд в подпороговом режиме с напряжением на затворе согласно (96). Выше порога, VG VT , падение напряжения на оксидном слое становится значительным, и зависимость Q VG изменится.
Уравнение (86) дает зависимость Q S , а уравнение (90) связывает S с VG . Численное решение этих двух уравнений показывает, что заряд растет
114
приблизительно линейно с VG |
при VG VT , как и в случае массивной структуры |
|||||||||||
MOS. Наклон этой линейной зависимости |
|
|
|
|
||||||||
|
C dQM |
|
d (QS ) |
d ( Q) . |
(98) |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
G |
dVG |
|
|
dVG |
|
|
dVG |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дифференцируя (90) по ( Q) , находим, что |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
, |
(99) |
|||
|
|
|
C |
2C |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|||||
|
|
|
G |
|
|
ox |
|
S |
|
|||
и записываем инверсионный заряд выше порогового напряжения в виде |
|
|||||||||||
|
Q(VG ) CG (VGS VT ) , |
(100) |
||||||||||
где CG Const . Для CS |
2Cox , |
CG 2Cox . |
Коэффициент двойка появляется из-за |
|||||||||
DG в этой модели ETSOI (рис. 13). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку ёмкость |
полупроводникового слоя конечная, CG |
немного |
меньше, чем 2Cox , как это было и в случае массивной структуры MOS. Воспользовавшись (86), находим ёмкость полупроводникового слоя ETSOI
|
|
|
|
|
|
|
Cinv |
d ( Q) |
Q |
. |
|
(101) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
d S |
|
kT/q |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Сравнивая этот результат с аналогичным (55) для массивной структуры |
||||||||||||||
MOS, видим, что ёмкость полупроводникового слоя ETSOI в два раза больше |
||||||||||||||||
аналогичной величины для массивной структуры MOS. |
|
|
||||||||||||||
|
|
Оба результата (101) и (55) предполагают невырожденную статистику |
||||||||||||||
электронов. |
А что |
получится |
в пределе |
вырождения? В этом |
случае |
|||||||||||
E |
F |
E |
|
c |
и уравнение (69) становится таким |
|
|
|
|
|||||||
|
C 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Q( S ) qnS qN21Dc EF EC0 |
1c q S / kT , |
(102) |
|||||||||
так что ёмкость полупроводникового слоя ETSOI становится равной |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Cinv d ( Q) |
q2 N21Dc |
q2 |
mD* |
q2D |
C , |
(103) |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
S |
d |
S |
kT |
|
2D |
Q |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где CQ |
есть квантовая ёмкость (97). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115 |
|
|
|
|
|
|
В более сложных ситуациях таких, как вдали от предела вырождения, при нескольких занятых подзонах, при утолщении полупроводникового слоя, когда учет изгиба зон становится существенным, ёмкость кремниевого слоя вынуждены рассчитывать численно. Однако, в любом случае ёмкость полупроводниковой подложки будет связана с плотностью состояний электронов. Для структур MOS, в которых используются полупроводники с легкими эффективными массами (напр., III – V полупроводники), можно ожидать, что ёмкость полупроводникового слоя и общая ёмкость затвора уменьшаться сравнительно с кремниевой подложкой.
Наконец, давайте перепишем уравнение (99) в таком виде
C |
(2Cox )CS |
. |
(104) |
|
|||
G |
(2Cox ) CS |
|
|
|
|
Мы могли бы ожидать, что полная ёмкость затвора для DG ETSOI будет в два раза больше ёмкости затвора для ETSOI с одиночным затвором, однако, она все же несколько меньше. Чтобы увидеть почему, перепишем (104) следующим образом:
|
C |
(C /2) |
|
|
|
C 2 |
ox |
S |
. |
(105) |
|
|
|
||||
G |
Cox (CS /2) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Емкости в скобках есть последовательное соединение Cox и CS /2 . Емкость DG ETSOI распределяется между двумя затворами, так что каждый из двух затворов характеризуется ёмкостью, которая несколько меньше ёмкости однозатворного ETSOI [10].
Приведем численные оценки ёмкости инверсионного слоя и толщины эквивалентной ёмкости. К выше указанным исходным данным по кремнию добавим tox 1.8 нм, ox 4.0 . Ответим на следующие пять вопросов:
1) Какова ёмкость полупроводникового слоя ETSOI при nS 1 1013 см 2 ?
Эта поверхностная плотность электронов типична для режима «ON» современного MOSFET. Из уравнения (101) находим
Cinv |
Q |
|
qnS |
61.610 6Ф /см2 , |
|
|
|||
S |
kT/q |
|
kT/q |
|
|
|
|
что в два раза больше ёмкости, найденной для массивной структуры MOSFET (59). По сравнению с Cox 2.0 10 6Ф /см2 это очень большая, неприемлемая
116
ёмкость, величина которой существенно уменьшится, если обратиться к статистике Ферми – Дирака и учесть квантовые ограничения для структуры ETSOI. Оценка CS в пределе вырождения по формуле (103) дает
C С |
25.4 10 6Ф /см2 , |
(106) |
S Q |
|
|
что меньше половины величины, полученной выше для невырожденной статистики.
2) Какова ёмкость затвора?
Согласно (104),
C |
(2Cox )CS |
|
|
2Cox |
|
|
|
|
|
2Cox |
0.86(2C ) 3.44 10 6Ф /см2 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
G |
|
(2Cox ) CS |
|
1 2Cox/CS 1 |
4.0 / 25.4 |
ox |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где мы воспользовались Cox (32) и CS |
(106). Как и ожидалось, CG 2Cox . |
|
|||||||||||||
3) Какова толщина эквивалентной ёмкости DG ETSOI? |
|
||||||||||||||
Воспользуемся определением СЕТ по (33) и учтем DG в ETSOI: |
|
||||||||||||||
|
C /2 |
ox |
CET |
ox |
|
|
4.0 8.854 10 12 10 2 |
2.06 нм . |
|
||||||
|
CET |
C / 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
G |
|
|
|
(3.44 / 2) 10 6 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
Обращает на себя внимание, что СЕТ в DG ETSOI несколько больше толщины оксидного слоя и этот эффект превышения более существенный по сравнению с прежним результатом (61) и обязан он использованию статистики Ферми – Дирака и учету квантовых ограничений.
4) Каков поверхностный потенциал полупроводникового слоя DG ETSOI при
n 1 1013 |
см 2 |
? |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
Из (79) имеем |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
S |
kT ln |
nS |
0.60 В . |
(107) |
|
|
|
|||||
|
|
|
q nSi |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Вспомним, что ранее вхождение в режим инверсии мы определили происходящим при Sinv 0.58 , так что полученное значение S немного больше. В случае массивной структуры MOS поверхностный потенциал в режиме сильной инверсии был приблизительно на шесть kT/q больше чем 2 B . В нашем
117
случае поверхностный потенциал при сильной инверсии лишь на один больше чем Sinv . Это различие отчасти обязано тому обстоятельству, что в случае структуры ETSOI электронный заряд ведет себя как Q exp(q S / kT ) , а в случае массивной структуры MOS – как Q exp(q S / 2kT ) , так что в последнем случае требуется бόльший изгиб зон, чтобы получить бόльший заряд в инверсионном слое.
5) Каков поверхностный потенциал полупроводникового слоя ETSOI при использовании статистики Ферми – Дирака?
Уравнение (70) связывает nS и S в общем случае, а именно:
|
nS N21Dc ln 1 e(EF EC 0 q S 1c )/kT . |
||||||||||||||
Предположим, что S |
0 при |
nS |
nSi и полупроводник невырожденный при |
||||||||||||
nS nSi , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n N1c e(EF EC 0 1c )/kT . |
|
|
||||||||||||
|
Si |
|
2D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя это выражение в предыдущее, получаем |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
nSi |
e q S /kT |
|
|
||||
|
n N1c |
ln |
1 |
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
S |
2D |
|
|
|
|
|
1c |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
N2D |
|
|
|
|
||||
откуда находим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
kT |
|
N1c |
|
e |
n /N1c |
|
|
, |
|||||
|
|
ln |
|
|
|
|
S |
2 D |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2D |
|
|
|
|
||||
|
|
q |
|
|
|
|
nSi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а после подстановки n |
1 1013 см 2 , n |
Si |
(85) и |
N1 c |
(83) окончательно получаем |
||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 D |
|
|
|
||
S 0.64 В , что на 0.04 |
В больше значения (107), полученного со статистикой |
Максвелла – Больцмана.
Ход поверхностного потенциала с изменением напряжения на затворе
Рисунок 5 иллюстрирует ход поверхностного потенциала с изменением напряжения на затворе для массивной структуры MOS. Ниже порогового напряжения поверхностный потенциал S VG /m , где m немного больше единицы. Выше порогового напряжения S растет медленно с увеличением VG , поскольку m становится очень большим, так что бόльшая часть растущего
118
напряжения приходится на падение напряжения на оксидном слое, а не на полупроводниковой подложке. Можно ожидать аналогичные тенденции и для структуры ETSOI.
На рис. 17 сравнивается ход S VG для структур массивной MOS и ETSOI.
Рис. 17. Зависимость поверхностного потенциала от напряжения на затворе. Сплошная линия относится к структуре ETSOI, а пунктирная – к массивной структуре MOS. Предполагается, что при S 0 уровень Ферми лежит близко к
валентной зоне в обоих случаях.
В подпороговой области S VG (мелкопунктирная прямая), поскольку m 1 для структуры DG ETSOI. Выше порога S меняется медленно с VG по той же причине, что и в случае с массивной структурой MOS. Замедление, однако, более слабое, поскольку в случае DG ETSOI инверсионный электронный заряд увеличивается более быстро с ростом S .
Итак, показано, что электронный заряд Q( S ) для структуры ETSOI изменяется экспоненциально с потенциалом S как ниже, так и выше порога, уравнение (86). Аналогичный результат был получен и для массивной структуры MOS, уравнения (44) и (48).
Ниже порога Q(VG ) меняется экспоненциально с VG , поскольку S VG , уравнение (96). Однако, выше порога зависимость Q(VG ) линейная, уравнение (100). Опять же, результаты аналогичны тем, которые были получены для массивной структуры MOS.
119