- •Глава 1. Волновые свойства частиц
- •§1.1. Корпускулярно-волновой дуализм
- •§1.2. Волны де Бройля и их экспериментальное подтверждение
- •§1.3. Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей
- •Глава 2. Математический аппарат квантовой механики
- •§ 2.1. Уравнение Шредингера
- •§2.2. Операторы
- •§2.3. Самосопряженные (эрмитовы) операторы и их свойства
- •§2.4. Вычисление средних значений. Обозначения Дирака
- •§2.5. Дифференцирование операторов по времени
- •Глава 3. Уравнение Шредингера в одном измерении
- •§3.1. Одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками
- •§3.2. Одномерная потенциальная яма с конечными стенками
- •§3.3. Потенциальные барьеры
- •§3.4. Линейный гармонический осциллятор
- •§3.5. Решение уравнения Шредингера одномерного осциллятора при помощи операторов рождения и уничтожения
- •Глава 4. Момент импульса
- •§4.1. Момент импульса в квантовой механике
- •§4.2. Оператор момента импульса в сферической системе координат
- •§4.3. Оператор квадрата момента импульса в сферической системе координат
- •Глава 5. Физика атомов
- •§5.1. Уравнение Шредингера в центральном поле
- •§5.2. Уравнение для радиальной части волновой функции
- •§5.3. Уравнение для угловой части
- •§5.4. Состояние электронов в атоме. Спин электрона
- •§5.5. Магнитный момент атома
- •Глава 6. Теория возмущений
- •§6.1. Стационарная теория возмущений
- •§6.2. Нестационарная теория возмущений
- •§6.3. “Золотое ” правило Ферми
- •§1.1. Корпускулярно-волновой дуализм 4
§3.2. Одномерная потенциальная яма с конечными стенками
Рассмотрим одномерную прямоугольную яму со стенками конечной высоты.
Рис.3.2. Одномерная прямоугольная яма со стенками конечной высоты.
Выберем начало координат на дне ямы симметрично относительно стенок:
(3.12)
Найдем сначала решения уравнения Шредингера внутри и вне ямы. Для получения общего решения необходимо “сшить” эти решения на границе ямы. При энергии частицы E > U0 имеем непрерывный спектр энергий, частица пролетает над ямой и может иметь любую энергию. В самом деле, внутри ямы имеем уравнение Вводя , записываем решение в этой области Вне ямы имеем уравнение Вводя волновое число , получаем решение вне ямы . Сшивая эти решения на границе, получаем, что любые энергии частицы разрешены. Таким образом, имеем сплошной спектр при E > U0.
Рассмотрим подробнее случай, когда энергия частицы E < U0. В этом случае мы получаем дискретный спектр связанных состояний. Для двух областей:
|x| < a/2 (3.13)
|x| > a/2 (3.14)
Введем оператор четности с помощью соотношения . Собственные числа оператора четности могут быть получены, если повторно подействовать им на исходную волновую функцию. Тогда получаем, что Таким образом, значения собственных чисел = 1. Для значения = 1, получаем “четное” состояние, а для = -1, имеем “нечетное” состояние. Поскольку , то оператор четности коммутирует с гамильтонианом рассматриваемой задачи
. (3.15)
Из (3.15) следует, что все собственные функции гамильтониана имеют определенную четность. Рассмотрим эти состояния поочередно.
Нечетные состояния. Запишем решения уравнений (3.13) и (3.14) для
нечетных состояний
Рис.3.3. Схематический вид нечетной волновой функции в прямоугольной яме
конечной глубины.
(3.16)
На Рис.3.3. показано, что частица проникает вне области ямы, при этом глубина проникновения частицы под барьер .
Из условий непрерывности волновой функции и её производной на границе x = a/2 следует:
(3.17)
Делением верхнего уравнения на нижнее уравнение получаем, что
(3.18)
Это трансцендентное уравнение определяет энергии разрешенных состояний. То же самое уравнение получим в силу симметрии из граничного условия при x = -a/2. Введем обозначение , тогда для правой части (3.18) получаем
,
где введен параметр мощности ямы:
. (3.19)
Для определения спектра надо решить трансцендентное уравнение
. (3.20)
Рассмотрим решение этого уравнения графически, для чего построим отдельно правую и левую части уравнения. Точки пересечения дают корни этого уравнения. Из рисунка видно, что решения имеются не при всех . Чем больше мощность ямы , тем больше корней уравнения - больше уровней энергии. При уменьшении число корней уменьшается. А при мощности , т.е. при
,
корней соответствующих нечетным состояниям нет вовсе. Напомним, что t0 = 0 и E0 = 0 не являются корнями, т.к. при этом решение внутри ямы есть , которое не удовлетворяет граничным условиям.
Рис.3.4. Графическое нахождение собственных энергий нечетных состояний.
Итак, для нечетных состояний, получаем:
- при мощности ямы нет дискретных состояний;
- при мощности ямы существует 1 нечетное состояние;
- при мощности ямы существует 2 нечетных состояний и т.д.
Четные состояния. Запишем теперь решения для четных состояний:
(3.21)
На границе ямы при x = a/2 имеем:
(3.22)
Откуда получаем новое трансцендентное уравнение
или . (3.23)
В силу симметрии то же уравнение дают граничные условия при x = -a/2. Из графического решения этого уравнения видно, что при всех возможных значениях параметра хоть одно решение есть всегда. Чем больше , тем больше четных решений.
Рис.3.4. Графическое нахождение собственных энергий четных состояний.
Итак, при мощности ямы получаем одно четное решение, при мощности получаем два четных решения и т.д.
Рассмотрим теперь “мелкую” яму, для которой << 1. Для такой ямы достаточно легко найти энергию единственного четного состояния (t << 1).
Из (3.23) следует, что Решая это уравнение, получаем
Вспоминая, что и , записываем для квадрата волнового числа
а для энергии
(3.24)
Первый (четный) уровень энергии находится теперь у самого “верха” ямы.
В одномерной яме с конечными стенками всегда существует хотя бы одно связанное состояние. При малой глубине и ширине (мощности) ямы в яме имеется только один четный уровень. С ростом U0 и a растет мощность ямы, и появляются новые уровни при прохождении параметром значений , где n – целое число. Четные и нечетные уровни появляются по очереди, причем вначале четные. Качественное поведение волновых функции низших состояний показано на Рис.3.5. Возводя в квадрат эти волновые функции, получаем плотность вероятности нахождения частицы при данной координате.
E3
Рис.3.5. Качественное поведение волновых функции низших состояний.
В одномерной потенциальной яме хотя бы один уровень существует всегда, но это не так в трехмерной потенциальной яме. Для нее существование хотя бы одного уровня зависит от “мощности” потенциальной ямы: , где U0 – глубина ямы, а a – ее размер. При малых мощностях ямы энергия частицы тоже должна быть малой, т.е. частица имеет большую волну де Бройля, и она как бы не “помещается” внутри ямы.