Индивидуальные задания Вариант №8

По курсу «Математические методы компьютерного моделирования физических процессов»

Для студентов КТАС, МИППС

Задача №1

Определить с помощью теории размерностей зависимость объемного расхода сыпучего вещества от диаметра отверстия в бункере, ускорения свободного падения и среднего размера зерна

Задача№2

С комканная бумажка массой 20 г при полете встречает силу сопротивления . Где А=0.1 Нс/м, В=2·10-4 Нс2/м2. Найдите траекторию. Сравните с траекторией в отсутствие силы сопротивления.

Задача№3

Привести уравнение движения планеты вокруг солнца к безразмерному виду, выбрав, в качестве масштаба длин, начальное расстояние между центрами тел, а в качестве масштаба времени, период обращения по круговой орбите. Составьте программу, которая бы отрисовывала траектории планеты при различных начальных скоростях. Проверьте экспериментально выполнение первого закона Кеплера. При каких скоростях солнце будет находиться в ближнем фокусе, а при каких – в дальнем? Существуют ли траектории, отличные от эллипсов.

Задача№4

Точечный груз прикреплен к оси вращения посредством невесомого жесткого стержня (поворотный математический маятник). Построить графики зависимости смещения и скорости от времени для различных начальных отклонений. Учесть силу сопротивления . Построить фазовые траектории для различных начальных состояний.

Задача№5

Одна из известных моделей, описывающая отношения между популяциями «хищников и жертв», система Лотки-Вольтерра, имеет следующий вид:

где: x – численность жертв; y – численность хищников; A – прирост жертв в отсутствии хищников; a – убыль жертв, поедаемых хищниками; B – убыль хищников в отсутствии питания (жертв); b – прирост хищников при наличии питания.

Построить зависимости от времени численностей популяций и фазовую траекторию системы для различных начальных значений. Каков характер динамики популяций? Зависит ли дальнейший рост численности жертв от начальной численности хищников? Что будет с популяциями в отсутствие друг друга. Является ли достаточной установленная по умолчанию точность солвера RelTol=10^-3 (Используйте для сравнения options=odeset(’RelTol’,1e-6))

Задача№6

Три заряда q,q и –2q расположены в вершинах равнобедренного треугольника. Начертить силовые линии электрического поля.

Задача№7

Согласно принципу Ферма, луч света выбирает путь, для которого время распространения между двумя точками минимально. Если показатель преломления , то данный принцип приводит к следующему дифференциальному уравнению: , позволяющему определить траекторию луча.. Показатель преломления равен , где - диэлектрическая восприимчивость. Полагая, что пропорционален плотности воздуха, которая зависит от температуры согласно уравнению Менделеева-Клапейрона , определить, каково расстояние от наблюдателя до оазиса в пустыне, если утром путник видит мираж под углом 10° к горизонту? Считать, что температура воздуха возрастает с высотой из-за сильного охлаждения поверхности за ночь по закону , где h₀=1000 м, а на поверхности земли .

Указание: Согласно принципу Ферма, луч света выбирает путь, для которого время распространения между двумя точками минимально. Если показатель преломления , то данный принцип приводит к дифференциальному уравнению: , позволяющему определить траекторию луча.