- •Терминология Математический анализ
- •1. Множества, операции над ними
- •2.Числовые множества, их границы.
- •3. Операции над символами бесконечности
- •4. Понятие функции
- •5. Частные классы отображений
- •6.Класс основных элементарных функций.
- •7. Суперпозиция (композиция отображений)
- •8. Системы окрестностей
- •9. Предел последовательности (определение Коши)
- •14. Классификация точек разрыва
- •15. Замечательные пределы.
- •16. Второй замечательный предел и его свойства.
- •18. Главная часть б.М.
- •19. Сравнение б.М.
- •20. Сравнение б.Б.
- •21. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
- •22. Таблица эквивалентных б.М.
- •23. Понятие производной.
- •24. Физический, геометрический и экономический смысл производной.
- •25. Таблица производных.
- •26. Производная сложных функций.
- •31. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
- •33. Формула Тейлора.
- •37. Условия постоянства функции.
- •38. Достаточные условия экстремума.
- •39. Выпуклость графика функции.
- •40. Асимптоты графикафункции.
- •41. Общая схема исследования функции
- •I этап – асимптотическое исследование фун-и
- •II этап – исследование фун-и на монотонность.
- •42. Формулы
14. Классификация точек разрыва
Существует 3 нарушения:
-
Устранимый разрыв.
Устранимым разрывом называется точка х0, если конечный предел слева равен конечному пределу справа и f(x0).
2. Разрыв I рода (неустранимый).
Точкой разрыва I рода называется точка х0, если конечные пределы (односторонние).
.
3. Разрыв II рода
Точка разрыва II рода – точка x0, при которой хотя бы один из односторонних пределов = или не существует.
15. Замечательные пределы.
Первый замечательный предел и его следствия.
- Первый замечательный предел.
Следствия:
1.
2.
3.
16. Второй замечательный предел и его свойства.
- n – для натуральных чисел
- х – для любых чисел
-
Следствия:
1. Вывод формул:
2. Вывод формулы:
Вводим замену:
3.
17.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция (х) называется б.м. при хх0, если предел этой функции равен нулю.
Функция (х) называется б.б. при хх0, если предел этой функции равен .
Свойства б.м:
1. Сумма конечного числа б. м. функций в точке х0 есть функция бесконечно малая в точке х0.
2. Произведение б.м. при хх0 на ограниченную функцию f(x) в окрестности точки х0 есть б.м. в точке х0.
3. Произведение конечного числа б.м. есть б.м при хх0.
Если (х) б.м при хх0, f(x) – б.б. при хх0, то они связаны обратной зависимостью.
Если предел , то - б.м, хх0
!Функции могут стремится к нулю с разной скоростью.
18. Главная часть б.М.
Главная часть б. м. - простейшая б.м. (х) б.м. (х).
т.е. если , то (х) – главная часть (х)
Простейшие б.м:
При х0, (х)=схk
При хх0,(х)=с(х-х0)k
При х,
19. Сравнение б.М.
Сравнимыми называются б.м. функции (х) и (х) при х=х0, если существует хотя бы один из пределов
Порядком малости – называется вещественное число k (kR, k>0) (х) относительно (х), если
Чем больше порядок малости, тем скорость выше.
Правило сравнения б.м:
Пусть (х) и (х) б.м. при хх0 и пусть , тогда если:
1. С=0, тогда имеет более порядок малости, чем , т.е. ее скорость выше: =0()
2. С=, тогда =0.
3. С0, С, тогда (=С()) и имеют одинаковый порядок малости.
4. С=1, то и называют эквивалентными б.м. ().
5. С не сущ., то б.м. несравнимы.
20. Сравнение б.Б.
Функция f(x) называется б.б. при хх0, если предел этой функции равен +,-, .
Правило сравнения б.б.
Пусть f(x) и - б.б. при хх0 и , тогда если:
С=, то f(x) имеет более высокий порядок роста.
С=0, то имеет более высокий порядок роста.
С0, С, то порядок роста одинаковый.
С=1, то f(x) .
Если предел не сущ., то f(x) и несравнимы.
Замечания:
Если б.б. представляет собой сумму слагаемого разного порядка роста, то она эквивалентна слагаемому наивысшего порядка роста.
При вычислении пределов в произведении, частном б.б. можно заменять эквивалентными.
21. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
1. Если (х)(х) при х=х0, то и (х)(х).
2. Если (х) (х), а (х) (х), то (х) (х).
3. Бесконечно малые (х) (х) эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность имеет более высокий порядок малости, чем каждая из них.
4. Если б.м. представляет собой сумму б.м. разного порядка малости, то она эквивалентна слагаемому НИСШЕГО порядка малости.
5. Если (х) 1(х), (х) 1(х) при х = х0 и существует то и
6. Если (х)1(х), (х) 1(х), то
Когда функция степенная, порядок малости равен степени.