- •40. Интеграл от фкп.
- •39.Аналитические функции в области и в точке.
- •38. Производная фкп. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости фкп в точке (условия Коши-Римана).
- •37. Основные функции комплексного переменного.
- •36. Комплексные числа.
- •35. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
- •34. Разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом.
- •33. Разложение а ряд Фурье четных и нечетных функций с периодом 2π.
- •32. Теорема Дирихле (достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье).
- •31. Ряды Фурье для функции с периодом 2π. Коэффициенты Фурье.
- •30. Система ортогональных функций. Основная тригонометрическая система.
- •29. Периодические функции и их свойства.
- •19. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
40. Интеграл от фкп.
Пусть задана непрерывная функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) на гладкой дуге L=AB , соединяющей точки z0 иz, тогда .
Интегралы, стоящие в правой части равенства являются криволинейными интегралами по координатам (второго рода). Эти интегралы удобнее всего считать, если уравнение дуги АВ задано параметрически, причем значение параметра в точке A=t1, а значение параметра в точке B=t2. Тогда интеграл от ФКП вычисляется по формуле .
Если f(z) аналитическая функция в области D, а АВ гладкая дуга, лежащая в этой области, то вычисление интеграла от ФКП можно производить по формуле Ньютона-Лейбница. Формулы для нахождения первообразной для аналитической функции являются обычными формулами интегрирования .
39.Аналитические функции в области и в точке.
Функция W=f(z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Функция W=f(z) называется аналитической в точке z0, где , если она аналитична в некоторой окрестности точки z0. Аналитические функции также называют регулярными или моногенными. Понятие дифференцируемости и аналитичности функции в области совпадают, а в точке нет. Требования аналитичности более жесткие. Все точки, в которых функция аналитическая, называют правильными точками f(z). Точки, в которых функция не аналитическая, называют особыми точками. Элементарные функции являются аналитическими во всей области своего определения и для них справедливы все формулы дифференцирования. Если известны только действительная или только мнимая части аналитической функции, то эта функция может быть полностью восстановлена по известной части с точностью до константы.
38. Производная фкп. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости фкп в точке (условия Коши-Римана).
Производная функции w=f(z) называется .
Если функция имеет производную в точке z0, то она называется дифференцируемой в точке z0. Для дифференцируемой функции W=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) в данной точке необходимо и достаточно, чтобы функции u и v были дифференцируемы в данной точке и чтобы в этой точке выполнялись условия Коши-Римана (C-R).
.
.
Если эти условия выполнены для функции f(z), то производную можно посчитать по одной из формул:.
37. Основные функции комплексного переменного.
Если на множестве М точек плоскости z задана функция w=f(z), то это означает, что указан закон, по которому каждой точке zϵM ставится в соответствие определенная точка или множество точек W. Если ставится одна точка, то функция называется однозначной, а если больше двух, то – многозначной. Если z=x+iy, а w=u+iv, то задание функции f(z)=w будет равносильно заданию двух функций действительного переменного u=u(x,y), v=v(x,y), f(z)=u(x,y)+iv(x,y).
Элементарные функции комплексного переменного определяются как суммы рядов, сходящихся на всей комплексной площади.
А действительной оси эти функции совпадают с соответствующими элементарными функциями действительного переменного. Для функции комплексного переменного справедлива формула Эйлера:.
Из это формулы следует, что:
1..
2..
Следствия:
а..
б..
в.
г..
3..
4.
5.
6.
7.
.
Условимся откладывать значение z на одной комплексной плоскости, а значение w=f(z) на другой. Назовем эту плоскость w, а ее оси u и v.
Если при отображении множества М на плоскости z получается множество N на плоскости w и при этом двум различны точкам из М соответствует две различных точки из N, то такое отображение называется однозначным или однолистным.