Глава I. Метод Монте-Карло и Понятия теории вероятностей
Со случайными процессами и явлениями мы часто сталкиваемся в повседневной жизни, они наблюдаемы в различных областях науки, техники и производства, например:
-
процесс бросания кубика с нанесенными на его гранях цифрами;
-
процесс движения и попадания шарика в определенную ячейку в игровой рулетке;
-
процесс прихода посетителей в магазин;
-
процесс обслуживания заправки автомобилей на заправочной станции;
-
процесс обслуживания заявок на телефонной станции;
-
процесс регистрации брака детали на конвейере;
-
явление движения броуновской частицы;
-
явление деления радиоактивного ядра;
-
явление движения нейтрона в некоторой среде;
-
явление рождения девочки или мальчика и многие другие.
В основе математического описания этих процессов и явлений лежат теория вероятностей, математическая статистика и метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В данной главе рассмотрим некоторые понятия теории вероятностей, классификацию и идеологию применения теории статистических испытаний (метода Монте-Карло).
-
Классификация вероятностно-статистических методов решения прикладных задач
Понятие имитационного моделирования (соответственно и имитационных моделей) трактуется неоднозначно. Надо различать модели имитационно-вероятностные и имитационно-компьютерные. Отличие заключается в реализации случайного фактора.
-
Если реальному явлению или описывающим его уравнениям сопоставляется аналогичный им (иногда совершенно непохожий) вероятностный процесс, то в этом случае мы имитируем процесс. Создание вероятностной модели, применение метода Монте-Карло для «имитации» или иногда говорят симуляции и его решение на ЭВМ для определения характеристик и параметров исследуемого реального явления называют вероятностно-имитационным моделированием. Для имитационно-вероятностных моделей стохастичность, случайность связана с самим явлением, процессом без внешнего воздействия. В конечном счете, описание объекта проводится в виде некоторого алгоритма, отражающего структуру и процессы функционирования объекта во времени, учитывающего воздействие случайных факторов в модели.
-
Для имитационно-компьютерных моделей случайность связана с субъектом моделирования. Это может быть отдельной программой или программным комплексом, некоторой средой программирования или моделирования, в частности тренажеры, в которой возможно имитировать процессы функционирования реального объекта (вождение водителем автомобиля по трассе, вождение полетом самолета и др.), в котором существуют элементы случайности, внесенные самим субъектом. Причем каждый субъект, кто работает с данной моделью, вносит разный элемент случайности. К имитационно-компьютерным моделям можно отнести, все игровые компьютерные модели, в том числе обучающе-контролирующие программы.
В данном пособии мы будем рассматривать имитационно-вероятностные модели. Развитие теории статистических испытаний в явлениях с присутствием элементов случайности или полностью случайных процессов (под общим названием метода статистических испытаний или Монте-Карло) позволяет в настоящее время подразделить задачи и в какой то мере классифицировать вероятностно-статистические методы решения прикладных задач по их типу.
Теорию вероятности можно использовать для вычисления различного типа интегралов и решения математических уравнений (линейных, дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных) безотносительно к каким-либо видам реальных явлений и процессов. Моделирования такого типа задач с помощью вероятностной модели в дальнейшем будем называть вероятностным моделированием.
Если реальному явлению или его математической модели в виде дифференциального уравнения сопоставляется аналогичный (иногда совершенно непохожий) вероятностный процесс, то в этом случае мы имитируем процесс. Создание вероятностной модели, применение метода Монте-Карло для «имитации», или иногда говорят симуляции, и его решение на ЭВМ для определения характеристик и параметров исследуемого реального явления называют вероятностно-имитационным моделированием. Задачи такого рода часто встречаются в молекулярной, статистической, нейтронной, квантовой физике, геофизике, газовой динамике, а также в теориях фильтрации, передачи и защиты информации, массового обслуживания и т.д.
Решение задач математической статистики статистического оценивания и прогнозирования, корреляционно-регрессионного и многомерного статистического анализа, оптимизации систем, определения экстремума функций большого числа переменных, распознавания образов в дальнейшем будем называть статистическим моделированием.
Отметим, что рассмотренная классификация является условной.
Рис.1.1. Классификация метода Монте-Карло по типу задач