Вопрос 1
Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:
1) два комплексных числа z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) называются равными, если x1 = x2 и y1 = y2;
2) суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z вида
z = (x1 + x2, y1 + y2);
3) произведением комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число
z = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1);
4)
множество комплексных чисел
,
отождествляется с множеством действительных
чисел R. Разностью
комплексных чисел z1
и z2
называется комплексное число z
такое, что z2
+ z
= z1,
откуда находим z
= z1
- z2
= (x1
- x2,
y1
- y2).Частным
комплексных чисел z1
и z2
называется комплексное число z
такое, что
.
Отсюда находим
Комплексное
число (0, 1) обозначается символом i
= (0, 1). Тогда
,
т. е. i2
= -1. Произвольное комплексное число z
можно записать в виде
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.
Эта
запись называется алгебраической
формой
комплексного числа. Комплексное число
называется
сопряженным
по отношению к комплексному числу z
= (x,
y)
= x
+ iy.
Вопрос 2
Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на рисунке, где точка A изображает число 4, а точка B число -5. Эти же числа можно изображать также отрезками OA, OB, учитывая не только их длину, но и направление.
Каждая точка M числовой прямой изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок OM соизмерим с единицей длины, и иррациональное если несоизмерим). Таким образом, на числовой прямой не остается места для комплексных чисел.
Но комплексные числа можно изображать на числовой плоскости. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат, с одинаковым масштабом на обеих осях.
Комплексное число a + b·i изображается точкой M, у которой абсцисса x равна абсциссе a комплексного числа, а ордината y равна ординате b комплексного числа.
Вопрос 3
2.6 Геометрическая интерпретация комплексного числа
Комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a; b). Для этого выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мнимые числа - точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью. Каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует один и только один вектор с началом O(0; 0) и концом Z(a; b). Поэтому комплексное число z = a + bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом в точке Z(a; b).
Пример: изобразить на плоскости числа z1 = 5; z2 = - 3i; z3 = 3 + 2i; z4 = 5 - 2i; z5 = - 3 + 2i; z6 = - 1 - 5i.
Решение. Заданные числа изображены на рисунке (Приложение 1).
31
2.7 Тригонометрическая форма комплексного числа
Вместо того, чтобы определить вектор его проекциями a и b на координатные оси, мы можем определить его двумя другими величинами, а именно: его длиною r и углом j. Если же мы считаем, что комплексное число a + bi соответствует точке с координатами ( a, b ), то r и j будут, очевидно, полярными координатами этой точки. Положительное число r называется модулем, j - аргументом комплексного числа a + bi. Аргумент определяется лишь с точностью до слагаемого 2?, так как всякий вектор совместится сам с собой, если его повернуть на любое число полных оборотов в ту или иную сторону вокруг точки M. В случае r = 0, комплексное число равно нулю, и его аргумент совершенно не определен. Условие равенства двух комплексных чисел состоит, очевидно, в том, что модули их должны быть равны, а аргументы могут отличаться лишь слагаемыми, кратными 2?. Вещественное число имеет аргумент 2Вp, если оно положительное, и (2В + 1)p, если оно отрицательное, где В - любое целое число . Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то комплексное число имеет вид bi и называется чисто мнимым. Можем выразить комплексное число через его модуль и аргумент в виде: r (cos ? + i sin ?). В таком случае говорят, что комплексное число задано в тригонометрической форме