18. Стохастические математические модели.

Во многих случаях при исследовании систем анализу подвергаются не детерминированные, а случайные, стохастические процессы. Причиной этого является случайные воздействия, действующие на систему, а также случайные изменения параметров систем.

В качестве примера можно привести изменение скорости ветра, температуры и давления воздуха, действующих на ЛА, случайные изменения тяги двигателя и параметров систем управления ЛА в полете. Несмотря на случайный характер событий они подчиняются вполне определенным закономерностям, рассматриваемым в теории вероятностей.

Теория вероятностей это раздел математики, изучающий случайные величины и случайные процессы, а также закономерности, возникающие при взаимодействии случайных величин.

Вероятность случайной величины - это количественная оценка возможностей её появления.

Форма вероятностей события x P(x)=N(x)/N, где P(x) - вероятность события х, а N(x) - число случаев появления события х и N - общее число возможных случаев. Пример. общее число изготовленных систем равно 100. Число забракованных систем 3. вероятность появления брака есть 0,03 .

Достоверные события имеют вероятность p=1. Невозможное событие имеет вероятность 0.

Все остальные события являются вероятными и вероятность их появления находится в пределах 0<P<1.

Наиболее часто встречающиеся числовыми характеристиками случайных величин является: 1)математическое ожидание;

2) дисперсия случайной величины;

3) СКО (среднее квадратическое отклонение);

Динамику систем управления со случайными входными сигналами и случайными параметрами изучает наука называемая Статической Динамикой.

Статическая Динамика Управления - это наука, изучающая динамику процесса управления при случайных входных сигналов и случайных или неслучайных динамических свойств систем управления.

Два основных метода статистической динамики, используемой для исследования систем управления - статистический анализ систем управления и статистический синтез.

Статистический анализ системы - заключается в определении и исследовании статических характеристик выходных сигналов систем по заданным статистическим характеристикам входных сигналов и статистическим характеристикам параметров систем управления.

Статистический синтез оптимальных систем управления заключается в определении в некотором смысле оптимальных статистических характеристик параметров систем по заданным статистическим характеристикам входных сигналов.

Пример Рассмотрим последовательность действий при статистическом анализе и синтезе простейшей стационарной линейной системы.

Стационарная процесс - такой процесс у которого величины не меняют свои статистические величины. Структура система представлена рисунком(см тетрадь)

x(t) - случайный входной сигнал

K_су - это обобщенный детерминированный параметр системы.

y(t) - случайный выходной сигнал

M_вн(t) - случайный возмущающий момент действующий на систему.

Общий вид уравнения, связывающего выходной сигнал системы с входных сигналом, возмущающим моментом и параметром системы имеет вид:

y(t)=F₁(x(t),M_вн(t),К_су)

Выражение случайной ошибки системы является разностью реального и идеального (желаемого) выходных сигналов систем. В общем виде может быть записано следующим образом:

ε_су(t)=F₂[(x(t),M_вн(t),К_су]

Полагаем для простоты что математическое ожидание ощибки системы равно нулю. M_εсу=0

Общее выражение средне квадратического отклонения ошибки системы может быть записано следующим образом

σ_εсу=F₃(σ_x, σ_Mвн, К_су), где

σ_x - среднеквадратическое отклонение входного сигнала

σ_Mвн - среднеквадратическое отклонение возмущающего момента

Условие оптимальности обобщенного параметра системы К_су по критерию минимума среднеквадратического отклонения ошибки системы равно

∂σ_εсу/∂К_су=0

Решение этого уравнения относительно К_су дает оптимальное значение обобщенного параметра К_{су opt} .