1.1.1. Двоичная система счисления.

В десятичной системе счисления основанием является число 10, а для представления любого числа используется 10 цифр. В двоичной системе счисления основанием является число 2, а для представления любого числа используется всего две цифры – 0 и 1.

Очень часто во избежание недоразумений используется рядом с последовательностью цифр представления числа индекс, который соответствует значению основания системы счисления.

В двоичной системе счисления для представления чисел в общем случае, как и в десятичной системе, используется взвешенная сумма цифр (значений разрядов), причем вес является степенями основания системы счисления, и в данном случае, степенями числа 2:

10₂=(1*2¹)+(0*2⁰)=2₁₀;

11₂=(1*2¹)+(1*2⁰)=3₁₀;

100₂=(1*2²)+(0*2¹)+(0*2⁰)=4₁₀.

При представлении дробной части числа вес разрядов является отрицательными степенями основания системы счисления:

1001.101₂=2³+2⁰+2^-1+2^-3=9.625₁₀.

1.1.2. Восьмеричная система счисления.

Цифрами этой системы являются 0,2,3,4,5,6,7. Число определяется суммой степеней восьмерки:

1.1.3. Шестнадцатеричная система счисления.

Для изображения чисел используется 16 символов от 0 до 15. Поскольку известно только 10 арабских цифр, то цифры от десяти до пятнадцати не имеют соответствующих им арабских аналогов. Эти цифры изображаются следующим образом:

10₁₀=A₁₆; 11₁₀=B₁₆; 12₁₀=C₁₆; 13₁₀=D₁₆; 14₁₀=E₁₆; 15₁₀=F₁₆.

Величина числа определяется суммой степеней 16:

Система счисления, применяемая в ЭВМ, должна обеспечивать:

1. простоту технической реализации q-позиционного запоминающего элемента. Здесь наиболее удобна система с наименьшей величиной q, то есть двоичная;

2. наибольшую помехоустойчивость кодирования цифр информации на носителях информации. Очевидно, что чем меньше состояний имеет цифра, тем лучше эти состояния различать. Наименьшее число состояний у двоичной системы счисления (два состояния);

3. минимум затрат оборудования при построении узлов и блоков ЭВМ. Расчеты показывают, что наименьшую сложность обеспечивает троичная система счисления, затем идет двоичная система счисления. Далее увеличение основания приводит к увеличению сложности интерфейса.

4. простоту арифметических действий, а следовательно, и простоту управления этими действиями. Чем меньше цифр в системе счисления, тем проще арифметические действия. Таким образом, предпочтение отдается двоичной системе счисления.

5. наибольшее быстродействие при выполнении операций обеспечивается с увеличением основания q системы счисления, так как один и тот же диапазон чисел представляется меньшим числом разрядов и уменьшается время распространения переносов;

6. удобство работы человека с ЭВМ.

Анализ различных систем счисления с рассмотренных позиций показывает, что в наибольшей степени перечисленным требованиям удовлетворяет двоичная система счисления. Она нашла применение практически во всех ЭВМ.