- •35. Постановка задач оптимального управления. Фазовые и управляющие переменные. Амплитудные ограничения. Примеры
- •37. Критерии качества управления. Типы критериев качества
- •38. Классификация задач оптимального управления по типу ограничений фазовые переменные.
- •39. Распространенные задачи оптимального управления. Основные проблемы теории управляемых процессов.
- •40. Принцип максимума л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем
- •41. Метод динамического программирования р. Беллмана
- •42. Применение принципа максимума, как проверочного условия
- •43.Применение принципа максимума для сведения задачи оптимального управления к решению двухточечной краевой задачи.
- •45. Принцип максимума л.С. Понтрягина для задач Больца, Лагранжа
- •46. Принцип максимума л.С. Понтрягина для задач терминального управления
- •48. Свойства функции Гамильтона. Достаточность принципа максимума для линейных систем
- •47.Задачи синтеза оптимального управления по быстродействию
- •24. Процесс управления и требования к нему. Итд
35. Постановка задач оптимального управления. Фазовые и управляющие переменные. Амплитудные ограничения. Примеры
динамические объекты – это такие объекты, характеристики которых меняются с течением времени t
.
Состояние объекта в любой момент времени t характеризуется n действительными числами которые называются координатами объекта. Движение будет заключаться в том, что эти переменные будут меняться с течением времени, т.е. являются функциями времени
Удобно ввести в рассмотрение вектор
Этот вектор называется фазовым вектором.
Введем пространство X, соответствующее этим фазовым состояниям, которое назовем фазовым пространством объекта . Любое состояние управляемого объекта характеризуется точкой фазового пространства, а движение управляемого объекта x(t) есть некоторая кривая в фазовом пространстве.
При n=2 получим фазовую плоскость.
Мы предполагаем рассматриваемый объект управляемым, т.е. имеем возможность изменять входные величины системы, изменения которых влияет на состояние системы. Это значит, что в любой момент времени можно выбирать r управляющих воздействий
которые воздействуют на состояние объекта.
Управление для любых состоит в том, что выбираются функции (управляющие воздействия) в некоторый промежуток времени
Удобно ввести вектор-функцию
, u– управляющее воздействие.
Это управление можно выбирать произвольным образом при сделанных ограничениях. Фазовая же траектория х(t) зависит от выбираемого управления.
Выбор управления однозначно определяет фазовое поведение изучаемого объекта. Таким образом, управление – независимый параметр.
Схематически управляемый объект может быть изображен следующим образом
На вход управляемого объекта подается управляющее воздействие
Рис. 9.1. Схема управления движением объекта.
В результате получаем фазовое поведение управляемого объекта управления.
Пример. Рассмотрим движение ракеты. Ракету можно рассматривать как точку переменной массы. Три величины определяют положение ракеты в пространстве.
– скорость (три переменные),
– масса, (масса также изменяется).
В результате получаем семь фазовых переменных, т.е. n=7.
Амплитудные ограничения
Амплитудные ограничения связаны с ограничениями на амплитуду управляющей
функции в любой момент времени t.
Зададим в пространстве переменных некоторое ограниченное множество
U. Это множество r-мерного евклидового пространства: .
Ограничение на управление состоит в том, что в любой момент времени t управление
выбираем так, чтобы .
Таким образом, для любого :
. (9.3.1)
Область U задается при математическом описании управляемого объекта. (Область управления U – это область допустимых управлений).
Рис. 9.3. Возможный вид области допустимых управлений
для случая r=2.
и нужно выбирать так, чтобы в любой момент t .
Если граница принадлежит множеству U, то управление u(t) может находиться и на границе. Для многих случаев важен случай замкнутой области U.
Рассмотрим частные, наиболее важные случаи амплитудных ограничений.
а) Параллелепипедные ограничения
, .
Такие ограничения называются параллелепипедными ограничениями, поскольку об-
ласть U представляет собой многомерный параллелепипед. Если r=1, то получим отрезок: . Если r=2, то получим прямоугольник , .
Рис. 9.4. Пареллелепипедные ограничения на управление
(случай r=2).
Параллелепипедные ограничения являются наиболее распространенными.
б) Модульные ограничения на управление
При модульных ограничениях любая компонента ограничена по модулю. Модульные
ограничения являются частным случаем первого типа ограничений.
,
Область управления есть r-мерный куб с центром в начале координат, т.е. нулевое управление удовлетворяет ограничению. Любое управление ограничено независимо от остальных.
с) Ограничения типа сферы
Областью управления является r-мерная сфера с центром в начале координат.
В общем случае амплитудные ограничения могут быть описаны в виде неравенств
,
- произвольные заданные функции.