1.Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали: Определителем третьего порядка называется следующее выражение: 

Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположого угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольноков, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус. 

Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании. Это означает, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы (матрицы, в которой строки заменены соответствующими столбцами).

Исходя из первого свойства, в остальных свойствах мы можем говорить только о строках, подразумевая, что эти свойства применими также и к столбцам.

Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Свойство 3. От перестановки двух строк определитель меняет свой знак.

Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки умножить на некое число, то сам определитель умножится на это число.

Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Свойство 7. Если все элементы i-й строки определителя n-го порядка представлен в виде суммы двух слагаемых: a_ij=b_j+c_j, j = 1, ..., n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, - такие же, как и в заданом определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом - из элементов c_j.

Свойство 8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитеь равен нулю..

Свойство 9. Определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк.

2. Алгебраическим дополнением элемента  матрицы  называется число

,где  — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы  путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца..Минор  матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами  и столбцов с номерами 

3. Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно) Определители: Решение:

4. Сумма двух матриц: Разность двух матриц Умножение на число.

:

Найдем произведение этих матриц:

5. ^{Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:}

матричным уравнением.

5) Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

. Матричная запись системы линейных уравнений  AX = B,гдеМатрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицуназывают расширенной матрицей системы, а матрицу  для которой AС = В, - вектор-решением системы.6)тоже самое)

7) Это пространство называется трёхмерным, так оно имеет три однородных измерения — высоту, ширину и длину, то есть трёхмерное пространство описывается тремя единичными ортогональными векторами..( направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало, называемое также точкой приложения В. и конец)

Линейные операции: сложение векторовПусть даны два вектора  и . Приложим вектор  к точке  (концу вектора ) и получим вектор  (рис.1.7,а; здесь и далее равные векторы отмечены одинаковыми засечками). Вектор  называется суммой векторов  и  и обозначается . Это нахождение суммы называется правилом треугольника Вычитание векторов : Разностью векторов  и  называется сумма вектора  с вектором , противоположным вектору : Умножение векторов Произведением ненулевого вектора а на действительное число  называется вектор , удовлетворяющий условиям:1) длина вектора  равна , т.е. 2) векторы  и  коллинеарные ;3) векторы  и  одинаково направлены, если , и противоположно направлены, если .

8)Набор векторов  называется системой векторов.Система из  векторов  называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что Система из  векторов  называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (1.1) тривиальная.

9) Пусть  – произвольный вектор,  – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

, (1)то говорят, что вектор  представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов  является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора  по базису . Коэффициенты линейной комбинации  называются в этом случае координатами вектора  относительно базиса ..(Теорема. (О разложении вектора по базису.)Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом)

10)Проекцией вектора  на ось  называется разность проекций конца вектора и его начала. Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций. Проекция на ось суммы векто Проекцией вектора b на вектор a,  , будем называть проекцию вектора b на любую ось, параллельную вектору a и имеющую направление, совпадающее с направлением вектора a.         Проекция вектора b на вектор a обозначается  .Очевидно, что  , где   -- угол между векторами a и b.

ров равна сумме их проекций.

10. Проекция вектора. Угол наклона вектора к оси.

Проекцией вектора на ось u называется число, равное величине отрезка оси u, где точка является проекцией точки А на ось u, а - проекцией точки В на эту ось.

Проекция вектора на ось u обозначается символом . Если вектор обозначен символом , то его проекцию на ось u принято обозначать: .

Проекция вектора на ось u выражается через его модуль и угол наклона к оси u формулой

Проекции произвольного вектора на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство ={X, Y, Z} означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси. Вектор, для которого X=Y=Z=0, называется нулевым и обозначается Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки (, , ) и (, , ), являющиеся соответственно началом и концом вектора , то его координаты X, Y, Z определяются по формулам , , .

11.Скалярное произведение векторов. Его свойства.

Скалярное произведение векторов. __ __

Угол между ненулевыми векторами AB и CD – это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек A и C. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением равно нулю:

( a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

Скалярное произведение ( a , a ), равное | a | 2, называется скалярным квадратом. Длина вектора a и его скалярный квадрат связаны соотношением

Скалярное произведение двух векторов:

- положительно, если угол между векторами острый ;

- отрицательно, если угол между векторами тупой .

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):

Свойства скалярного произведения. Для любых векторов a , b , c и любого числа m справедливы следующие соотношения:

I. ( a , b ) = ( b , a ) . ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон )

II. ( m a , b ) = m ( a , b ) .

III. ( a + b , c ) = ( a , c ) + ( b , c ). ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон )

Единичные ортогональные векторы. В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы i, j и k, связанные с координатными осями: i – с осью Х, j – с осью Y и k – с осью Z. В соответствии с этим определением:

( i , j ) = ( i , k ) = ( j , k ) = 0,

| i | = | j | = | k | = 1.

Любой вектор a может быть выражен через эти векторы единственным образом: a = x i + y j + z k . Другая форма записи: a = ( x, y, z ). Здесь x, y, z - координаты вектора a в этой системе координат. В соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных векторов i, j , k скалярное произведение двух векторов можно выразить иначе.

Пусть a = ( x, y, z ); b = ( u, v, w ). Тогда ( a , b ) = xu + yv + zw.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Длина (модуль) вектора a = ( x, y, z )

Кроме того, теперь мы получаем возможность проведения алгебраических операций над векторами, а именно, сложение и вычитание векторов можетвыполняться по координатам:

a + b = ( x + u , y + v , z + w ) ;

a – b = ( x – u , y – v , z – w ) .