Санкт-Петербургский
государственный
университет
аэрокосмического
приборостроения
Пятигорский
филиал
Методическое
пособие
г.
Пятигорск
2011
1. Найдите
точку максимума функции
Решение.
Найдем
производную данной функции:
Определим
промежутки знакопостоянства производной,
разложив
полученное выражение на множители:
В
точке х
=
- 4 производная меняет знак с плюса на
минус, следовательно, эта точка и
является единственной точкой максимума.
2. Найдите
наименьшее значение функции
Решение.
Найдем
производную функции
у
= х3
- 27 х
и
воспользуемся формулой квадрата
разности:
Производная
меняет знак в точках х
= - 3 и
х = 3. Отрезку [0;
4] принадлежит только точка х
= 3,
в которой производная меняет
знак с минуса на плюс. Таким образом,
точка х
=
3 является
точкой минимума и единственной точкой
экстремума на данном отрезке. Значит,
своего наименьшего значения на
данном отрезке функция достигает именно
в этой точке. Найдем наименьшее значение:
Ответ:
—54.
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
1.Найдите
точку минимума функции
Решение.
Найдем
производную данной функции:
Определим
промежутки знакопостоянства производной,
приведя
полученное выражение к общему знаменателю
и разложив
числитель на множители:
В
точке х
= 5
производная меняет знак с минуса на
плюс, следовательно,
эта точка и является единственной
точкой минимума.
Ответ:
5.
2.
Найдите наибольшее значение функции
Решение.
Найдем
производную данной функции:
Приведем
полученное выражение к общему знаменателю
и разложим числитель на множители:
Отрезку
[- 4; -1] принадлежит только точка х
= — 3,
в которой
производная меняет знак с плюса на
минус. Таким образом,
точка х
=
- 3 является точкой максимума и
единственной
точкой экстремума на данном отрезке.
Значит, своего наибольшего
значения на данном отрезке функция
достигает именно
в этой точке. Найдем наибольшее значение:
Ответ:
—6.
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Решение.
Найдем
производную данной функции:
Производная
обращается в нуль, если
Ответ:
4.
Найдите
наименьшее значение функции
Решение.
Найдем
производную данной функции:
Производная
обращается в нуль, если
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
1. Найдите
точку минимума функции
принадлежащую
промежутку
Решение.
Сначала
найдем производную данной функции,
применив
правило для вычисления производной
произведения
двух функций:
откуда
и,
следовательно,
На
промежутке
Ответ:
0,5.
2.
Найдите
наибольшее значение функции
Решение.
Найдем
производную данной функции:
Производная
обращается в нуль, если
откуда
Ответ:
8.
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Решение.
Сначала
найдем производную данной функции,
применив
правило для вычисления производной
произведения
двух функций:
откуда
и,
следовательно,
Производная
обращается в нуль при х
=
0 и х
=
19, причем меняет
знак с плюса на минус в точке х
=
19. Эта точка и является
единственной точкой максимума.
Ответ:
19.
Решение.
Сначала
найдем производную данной функции,
применив
правило для вычисления производной
произведения
двух функций:
откуда
и,
следовательно,
Ответ:
—
1.
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
1.. Найдите
точку минимума функции
Решение.
Найдем
производную данной функции:
откуда
Производная
меняет знак в единственной точке х
=
5, причем знак
производной в этой точке меняется с
плюса на минус. Следовательно, эта точка
и является единственной точкой минимума
данной функции.
Ответ:
5.
2.Найдите
наибольшее значение функции
Решение.
Найдем
производную данной функции:
Откуда
Производная
меняет знак в единственной точке х
=
—2, причем
знак производной в этой точке меняется
с плюса на минус.
Эта точка является единственной точкой
максимума на данном отрезке и наибольшего
значения на этом отрезке функция
достигает именно в этой точке. Найдем
наибольшее значение:
Ответ:
19.
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
точку минимума функции
Найдите
точку максимума функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Найдите
наименьшее значение функции
Найдите
наибольшее значение функции
Производные
элементарных
функций
Функция
y
= f(x)
Производные
элементарных функций простого
аргумента
y
= С
y
y
=
y
y=xn
y
y
= x
y
y=
y
y=
y
y
= cos x
y
y
= sin x
y
y
= tg x
y
y
= ctg x
y
y
= arcsin x
y
y
= arccos x
y
y
= arctg x
y
y
= arcctg x
y
y=ax
y
y=ex
y
y=logax
y
y
= lnx
y
y=(kx+b)n
y
y=(kx+b)
y
y=
y
y=
y
y
= cos (kx
+b)
y
y
= sin (kx
+b)
y
y
= tg (kx
+b)
y
y
= ctg (kx
+b)
y
y
= arcsin (kx
+b)
y
y
= arccos (kx
+b)
y
y
= arctg (kx
+b)
y
y
= arcctg (kx
+b)
y
y=a
kx+b
y
y=e
kx+b
y
y=loga(kx+b)
y
y
= ln(kx
+b)
y Правила
вычисления производной функции
Ответы
1
2.2.
3.2. 4. -2. 5.3. 6. -4. 7.2. 8. -2. 9.3.
10.
-3.
2
11.1.
12.0. 13.5. 14.4. 15.-29. 16.11. 17.-20. 18.0. 19.-18. 20.9.
3
21.-4.
22.6. 23.8. 24.2. 25.2. 26.-3. 27.1. 28.-2. 29.-3. 30.-4.
4
31.8. 32.-7.
33.6. 34.-24. 35.30. 36.-6. 37.10. 38.-12. 39.27. 40.-25.
5
41.9. 42.4.
43.1. 44.16. 45.3. 46.2. 47.4. 48.5. 49.1. 50.1.
6
51.-16.
52.-4. 53.81. 54.16. 55.-16. 56.16. 57.-48. 58.17. 59.-103. 60.59.
7
61.3.
62. 1,5. 63. 1,2. 64.0,5. 65. 2,5. 66.0,75. 67. 0,25.
68.
1,25. 69. 0,4. 70. 2,5.
8
71.6.
72.34.
73.14. 74.7. 75.-1. 76.14. 77.-6. 78.8. 79.-10. 80.-18.
9
81.3.
82.0. 83.13. 84.-1. 85.2. 86.4. 87.5. 88.7. 89.1. 90.-3.
10
91.7. 92.14.
93.4. 94.4. 95.-2. 96.10. 97.0. 98.4.
99.-1.
100.2.
11
101.0,4.
102.9. 103.8. 104.5. 105.9,5. 106.3. 107.11,5. 108.-4,8. 109.4.
110.3.
12
111.-20.
11 2.13. 113.19. 114.6. 115.2. 116.12. 117.-1.
118.10. 119. - 7. 120.9.
13
121.
14
131.
15
Целые рациональные функции.
Ответ: -4.
на отрезке [0;4].
.
на
отрезке [- 4;0].
на
отрезке [1;3].
на
отрезке [1;4].
на
отрезке [-3;0].
на
отрезке [0; 6].
на
отрезке [-4;0].
на
отрезке [-1;4].
на
отрезке [-3; -1].
на
отрезке [1; 5].
на
отрезке [- 4; - 1].Дробно-рациональные функции.
на
отрезке
[-4; - 1].
на
отрезке [2; 8].
на
отрезке [-14; -1].
на
отрезке [ 3; 9].
на
отрезке [ - 16; - 4].
на
отрезке [1; 20].
на
отрезке [- 9; - 1].
на
отрезке [1; 10].
на
отрезке [—4; —1].
на
отрезке [- 6; -1].
на
отрезке [- 10; -1].Иррациональные функции.
Найдите точку максимума функции
откуда
х
=
4. В
точке х
= 4 производная
меняет знак с плюса на минус, следовательно,
эта точка и является единственной
точкой максимума.
на
отрезке [1;9].
,
откуда
х
=
1. В
точке х
=
1 производная меняет знак с минуса на
плюс, эта точка
является единственной точкой минимума
на данном отрезке
и наименьшего значения на этом отрезке
функция достигает
именно в этой точке. Найдем наименьшее
значение:
Ответ: - 1.
на
отрезке [1;9].
на отрезке [1;4].
на
отрезке [4;16].
на отрезке [-4;4].
на
отрезке [0; 8].
на отрезке [-1; 7].
на
отрезке [-8; 4].
на отрезке [- 3;5].
на
отрезке [- 6;2].
на
отрезке [-9 ;3].Тригонометрические функции.
или
.
производная
обращается в нуль только
при х
=
0,5, поскольку
при
В точке
х
= 0,5 производная меняет знак с минуса
на плюс, эта точка является единственной
точкой минимума на данном промежутке.
на отрезке
Отрезку
принадлежит единственный корень
полученного
уравнения. В точке
производная
меняет знак с плюса на минус, эта точка
является единственной
точкой максимума на данном отрезке и
наибольшего
значения на этом отрезке функция
достигает именно в этой точке.
Найдем наибольшее значение:
принадлежащую промежутку
принадлежащую
промежутку
принадлежащую
промежутку
принадлежащую промежутку
принадлежащую
промежутку
принадлежащую промежутку
принадлежащую
промежутку
принадлежащую промежутку
принадлежащую
промежутку
принадлежащую промежутку
на отрезке
на
отрезке
на
отрезке
на
отрезке
на
отрезке
на отрезке
на отрезке
на
отрезке
на отрезке
на
отрезке
Показательная функция.
Найдите точку максимума функции
или
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [11; 13].
В
точке х = 12 производная
меняет знак с минуса на плюс, эта точка
является единственной
точкой минимума на данном отрезке и
наименьшего
значения на этом отрезке функция
достигает именно в этой точке.
Найдем наименьшее значение:
на отрезке [3; 9].
на
отрезке [5; 15].
на отрезке [0; 7].
на отрезке [1;3].
на отрезке [4; 6].
на отрезке [4; 6].
на отрезке [1; 3].
на
отрезке [7; 9].
на
отрезке [1; 5].
на
отрезке [0; 2].Логарифмическая функция.
на
отрезке [—2,5; 0].
.
.
на
отрезке [-4,5; 1].
на
отрезке [ - 1,5; 0].
на отрезке [0,1; 8,1].
на
отрезке
.
на
отрезке [0,3; 3,3].
на отрезке
.
на
отрезке
на
отрезке
на
отрезке [0,8; 1,2].
на
отрезке
.
=0
=0
=n
xn−1
=1
=
=
−
=−sinx
=cosx
=
=
−
=
=−
=
=−
a
0
a
1
=ax
lna
a
0
a
1
=ex
a
0
a
1
=
=
x
0
=n
k
(kx+b)n−1
=k
=k
=−k
=−k
sin(kx+b)
=k
cos(kx+b)
=k
=−k
=k
=−k
=
k
=−k
a
0
a
1
=k
a
kx+b
lna
a
0
a
=1
=k
ekx+b
a
0
a
=1
=k
=k
,
(kx+b)
0
Сложная
функция:
.
122. 2. 123. 1. 124. 6. 125. 9. 126. 3. 127. 125. 8. 5. 129. 1. 130.
132.0.
133.2. 134.1. 135.
.
136.16. 137.5. 138.12. 139.2. 140
3
46
4
45
5
44
6
43
7
42
8
41
9
40
10
39
11
38
12
37
13
36
14
35
15
34
16
33
17
32
18
31
19
30
20
29
21
28
22
27
23
26
24
25