Билет №1.Определение траектории, скорости и ускорения точки, если закон ее движения задан в координатной форме

Если точка движется относительно некоторой системы координат, то координаты точки изменяются с течением времени. Уравнения, выражающие функциональные зависимости координат движущейся точки от времени, называют уравнениями движения точки в системе координат (см. § 51, п. 2 в учебнике Е. М. Никитина).

Движение точки в пространстве задается тремя уравнениями: x = f₁(t); (1) y = f₂(t); z = f₃(t);

Движение точки в плоскости (рис. 203) задается двумя уравнениями: (2) x = f₁(t); y = f₂(t);

Системы уравнений (1) или (2) называют законом движения точки в координатной форме.

Ниже рассматривается движение точки в плоскости, поэтому используется только система (2).

Если закон движения точки задан в координатной форме, то:

а) траектория плоского движения точки выражается уравнением y = F(x), которое образуется из данных уравнений движения после исключения времени t;

б) числовое значение скорости точки находится из формулы v = sqrt(v_x² + v_y²) после предварительного определения проекции (см. рис. 203) скорости на оси координат v_x = dx/dt и v_y = dy/dt;

в) числовое значение ускорения находится из формулы a = sqrt(a_x² + a_y²) после предварительного определения проекций ускорения на оси координат a_x = dv_x/dt и a_y = dv_y/dt;

г) направления скорости и ускорения относительно осей координат определяются из тригонометрических соотношений между векторами скорости или ускорения и их проекциями.

Условие задачи

Движение точки A задано уравнениями: x = 2t² + 2; y = 1,5t² + 1, где x и y – в см, а t – в сек. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты t₀=0 сек, t₁=1 и t₅=5 сек, а также путь пройденный точкой за 5 сек.

Решение задачи

Билет №2

Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории

При решении многих технических задач возникает необходимость знать радиус кривизны R (или 1/R – кривизну) траектории. Если задано уравнение траектории, то радиус ее кривизны в любой точке можно определить при помощи дифференциального исчисления. Используя уравнения движения точки в координатной форме, можно определять радиус кривизны траектории движущейся точки без непосредственного исследования уравнения траектории. Определение радиуса кривизны траектории при помощи уравнений движения точки в координатной форме называется кинематическим способом. Этот способ основан на том, что радиус кривизны траектории движущейся точки входит в формулу a_n = v²/R, выражающую числовое значение нормального ускорения.

Отсюда (а) R = v²/a_n.

Скорость v точки определяется по формуле (б) v = sqrt(v_x² + v_y²).

Следовательно, (б') v² = v_x² + v_y².

Числовое значение нормального ускорения a_n входит в выражение полного ускорения точки a = sqrt(a_n² + a_t²), откуда (в) a_n = sqrt(a² - a_t²), где квадрат полного ускорения (г) a² = a_x² + a_y² и касательное ускорение (д) a_t = dv/dt.

Таким образом, если закон движения точки задан уравнениями x = f₁(t); y = f₂(t), то при определении радиуса кривизны траектории рекомендуется произвести следующее:

1. Продифференцировав уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора скорости: v_x = f₁'(t); v_y = f₂'(t).

2. Подставив в (б') выражения v_x и v_y, найти v².

3. Продифференцировав по t уравнение (б), полученное непосредственно из (б'), найти касательное ускорение a_t, а затем a_t².

4. Продифференцировав вторично уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора ускорения a_x = f₁''(t) = v_x'; a_y = f₂''(t) = v_y'.

5. Подставив в (г) выражения a_x и a_y, найти a².

6. Подставить в (в) значения a² и a_t² и найти a_n.

7. Подставив в (а) найденные значения v² и a_n, получить радиус кривизны R.

Условие задачи

Движение точки задано уравнениями x = 3t; y = 4t - 3t², (х, у – в см, t – в сек). Определить радиус кривизны траектории в те моменты, когда она пересекает ось Ох.

Решение задачи

Билет№3

Равномерное криволинейное движение точки

Если a_t = 0 и a_n ≠ 0, то модуль скорости остается неизменным (точка движется равномерно), но ее направление изменяется и точка движется криволинейно. Иначе, при равномерном движении по криволинейной траектории точка имеет нормальное ускорение, направленное по нормали к траектории и численно равное a_n = v²/R, где R – радиус кривизны траектории.

В частном случае движения точки по окружности (или по дуге окружности) радиус кривизны траектории во всех ее точках постоянный: R = r = const, а так как и числовое значение скорости постоянно, то a_n = v²/r = const.

При равномерном движении числовое значение скорости определяется из формулы v = (s - s₀)/t или v = s/t.

Если точка совершит полный пробег по окружности, то путь s равен длине окружности, т. е. s = 2πr = πd (d = 2r – диаметр), а время равно периоду, т. е. t = T. Выражение скорости примет вид v = 2πr/T = πd/T.

Условие задачи

Определить, с какими скоростями движутся точки А, В и С, расположенные на концах секундной, минутной и часовой стрелок часов. Принять длину секундной и минутной стрелок равной 14 мм и длину часовой стрелки – 10 мм (рис. 196).