- •С.А. Иванова, в.А. Павский Математика
- •Часть 1
- •Оглавление
- •Тема 10. Исследование функции 145
- •Введение
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1. Сложение матриц
- •2. Умножение матрицы на число
- •3. Умножение матриц
- •Определитель матрицы
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения системы линейных алгебраических уравнений
- •1. Метод Крамера
- •2. Матричный метод
- •3. Метод Гаусса
- •Однородная система линейных алгебраических уравнений
- •Системы линейных неравенств
- •Тема 3. Линейные пространства
- •Базис линейного пространства
- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Тема 4. Элементы векторной алгебры Векторы
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •Базис системы векторов
- •Скалярное произведение векторов
- •Cвойства скалярного произведения
- •С помощью скалярного произведения находят
- •Векторное и смешанное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения
- •Свойства смешанного произведения
- •Тема 5. Аналитическая геометрия на плоскости Система координат на плоскости
- •Уравнение линии на плоскости
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Тема 6. Кривые второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •Уравнение плоскости в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнение прямой в пространстве
- •Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
- •Деление отрезка в данном отношении
- •Тема 8. Функции. Теория пределов Понятие функции
- •Способы задания функции
- •Графический
- •Элементарные функции
- •Задание функций в полярной системе координат
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства бесконечно малых
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •О сжатой последовательности
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Вычисление пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Эквивалентные функции
- •Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •Тема 9. Дифференциальное исчисление Определение производной
- •Геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования, таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Производные сложной и обратной функций
- •Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Геометрические приложения производной
- •Дифференциал функции
- •Основные свойства дифференциала
- •Производные высших порядков
- •Теоремы о дифференцируемости функции
- •Правило Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Тема 10. Исследование функции Возрастание и убывание функции
- •Экстремумы функции
- •Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Вогнутость и выпуклость функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Заключение
- •Задания для самостоятельной работы
- •Список литературы
- •Математика
- •Часть 1 Нач. Редакции а.С. Обвинцева
- •650010, Г. Кемерово, ул. Красноармейская, 52
Геометрические приложения производной
Исходя из геометрического смысла производной, уравнение касательной к графику дифференцируемой функции в точке , где , имеет вид:
. (19)
В самом деле, любая прямая, заданная уравнением , однозначно определена точкой , лежащей на этой прямой, и углом ее наклона к оси Ox. Из геометрического смысла производной в точке имеем . Приравнивая левую и правую части последнего равенства, получаем (19).
Прямая, проходящая через точку перпендикулярно к каса-тельной, называется нормалью к графику функции в этой точке.
Если , то уравнение нормали имеет вид:
, (20)
если , то нормалью является прямая .
Пример 9.9. Найти уравнение касательной и нормали к графику функции в точке . Сделать чертеж.
Решение. Для того чтобы записать уравнения касательной и нормали, необходимо определить значения функции и ее производной в заданной точке : , , . Так как , то найденные значения подставим в фор-мулы (19) и (20):
– касательная,
– нормаль.
Выполним чертеж (рис. 9.3).
Рис. 9.3
Дифференциал функции
Определение. Функция , определенная на интервале , называется дифференцируемой в точке , если в некоторой окрестности этой точки приращение функции можно представить в виде
,
где – постоянная, при .
Определение. Дифференциалом функции в точ-ке называется главная линейная часть ее приращения и обозначается или , т. е. .
Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную . Тогда по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции можно записать при или .
Таким образом, дифференциал функции в точке равен произведению производной этой функции в точке x на приращение аргумента
Поскольку дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением (), тогда
.
Из этого равенства следует, что производную можно рассматривать не только как обозначение производной функции в точке x, но и как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной, то есть .
Правила нахождения дифференциалов непосредственно вытека-ют из соответствующих правил дифференцирования функций.
Пример 9.10. Найти дифференциал функции .
Решение. Имеем:
.
Замечание. Рассматривая производную как отношение диф-ференциалов, легко получить многие формулы и теоремы вычисления производных. Например, производная сложной функции легко получается из цепочки: .
Основные свойства дифференциала
Пусть – дифференцируемые функции,
1) |
; |
2) |
|
3) |
; |
4) |
|
5) |
, . |
Производные высших порядков
Производная функции тоже есть функция от x и называется производной 1-го порядка (1-й производной).
Если функция дифференцируемая, то ее производ-ная называется производной 2-го порядка (2-й производной) и обозначается , или .
Производная от производной 2-го порядка, если она существует, называется производной 3-го порядка и обоз-начается , или .
По индукции производной n-го порядка называется про-изводная от производной (n-1) порядка:, .
Производные функции порядка выше первого называются производными высших порядков.
Например, для функции имеем: ; ; и т. д.
Пример 9.11. Найти производную 2-го порядка функции .
Решение. Поскольку , то .
Если функция задана параметрически: , , , функции , дифференцируемые, по крайней мере, n-го порядка включительно, , тогда производные , , , … вычисляются по формулам:
, и т. д.
Например, для функции , имеем:
; .