- •Определенный интеграл и его приложения
- •Понятие определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •Вычисления определенного интеграла Формула Ньютона – Лейбница
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Вычисление площадей плоских фигур Площадь криволинейной трапеции
- •Объем тела вращения
- •Длина дуги плоской кривой
Определенный интеграл и его приложения
-
Понятие определенного интеграла
Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие действия.
-
С помощью точек () разобьем отрезок на частичных отрезков .
-
В каждом частичном отрезке , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке, т. е. ;
-
Умножим найденное значение на длину соответствующего частичного отрезка: ;
-
Составим сумму всех таких произведений:
, (1)
Сумма называется интегральной суммой функции на отрезке . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка: .
-
Найдем предел интегральной суммы, когда , так что.
Рис. 1
Если при этом интегральная сумма имеет предел I, который не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек на них, то число I называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Таким образом,
. (2)
В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, отрезок называется областью (отрезком) интегрирования.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
-
Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , вертикальными прямыми и сбоку и осью снизу, называется криволинейной трапецией. Рассмотрим разбиение отрезка и соответствующую интегральную сумму (1). Слагаемые в (1) равны площадям прямоугольников с основаниями и высотами (), а вся сумма представляет площадь ступенчатой фигуры, образованной этими прямоугольниками (Рис. 2). Предел интегральных сумм (если он существует), то есть определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
Рис. 2
Таким образом , т. е. .
Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
-
Свойства определенного интеграла
-
Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .
-
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю : . Это свойство следует из определения интеграла.
-
Если , то, при перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный .
-
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
-
Определенный интеграл от алгебраической суммы двух (и более) функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
.
-
Если функция интегрируема на и , то (аддитивность определенного интеграла).
-
Если , то .
-
Если интегрируемые функции и удовлетворяют неравенству , то (определенность определенного интеграла).
-
Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции непрерывной на отрезке , то .
-
(Теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .