4. Волновая функция

Известно, что плоская монохроматическая волна описывается уравнением

(5)

где .Обычно для упрощения вычислений переходят от (5) к комплекснозначащей функции

, (6)

действительная часть которой совпадает с выражением (5);

Выразив и через Е и р , находим выражение для плоской волны де Бройля

, (7)

где . описывает свободную частицу, равномерно движущуюся с импульсом р в положительном направлении оси х.

Согласно статистической интерпретации вероятность обнаружить частицу в каком-либо месте пространства пропорциональна

,

т.е. равновероятно обнаружить частицу в любом маете пространства. Для равномерно движущейся свободной частицы этот результат очевиден. Он не получился бы, если вместо выражения (7) для волн де Бройля взять формулу (5). Таким образом, санкция VP принципиально комплексна.

При произвольных движениях частицы в произвольных силовых полях полное описание ее состояния дается не плоской волной де Бройля, а какой-то более слонной комплексной функцией . Она называется волновой функцией. пропорциональна вероятности. Вероятность достоверного события равняется единице. Достоверное событие состоит в том, что частица находится где-нибудь в пространстве, поэтому

(8)

При этом дает вероятность того, что частица находится в элементе объема dV, а есть плотность вероятности. Формула (8) называется условием нормировки.

Волновая функция удовлетворяет следующим стандартным условиям. Она должна быть:

• конечной (вероятность не может быть больше единицы);

• однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) ;

• непрерывной (вероятность не может изменяться скачком,.

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если и – волновые функции, описывающие какие-то два состояния частицы, то всякая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами представляет такие волновую функцию той же частицы, описывающую какое-то ее состояние.

5. Уравнение шредингера

Основная задача квантовой (волновой) механики состоит в нахождении волновых функций и связанных с ними физических следствий в самых разнообразных условиях. Для ее решения служит волновое уравнение или уравнение Шредингера.

Уравнение Шредингера имеет вид:

(9)

где m - масса частицы, - оператор Лапласа (), U – потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется.

Нетрудно убедиться, что если U =0, то решением уравнения (8) является плоская волна де Бройля (7).

Особое значение в квантовой механике имеют стацио­нарные состояния. Это такие состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не меняются в течение вре­мени. В стационарных состояниях

(10)

Например, плотность вероятности

от времени не зависит.

Подставляя (10) в (9), получаем уравнение для нахождения волновых функций и энергии стационарных состояний

Уравнение (II) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний или стационарным уравнением Щредингера, а уравнение (9) - временным или нестационарным уравнением Шредингера.

Решения стационарного уравнения Шредингера, такие, что волновая функция и ее производные первого порядка удовлетворяют стандартным условиям конечности; однозначности и непрерывности, существуют, вообще говоря, .не при всяких значениях Е , а только при некоторых. Их называет собственными значениями энергии. Собст­венные значения энергии Е могут быть дискретными, а могут непрерывно заполнять конечный или бесконечный интервал. Соответственно говорят, что энергетический спектр дискретный .или непрерывный.

Если U при. а стандартные условия выполнены, то можно доказать справедливость следующих ре­зультатов .

1. При Е < 0 собственные значения энергии образуют дискретный спектр. Волновая функция стационарного состояния обращается в нуль на бесконечности. Согласно статистической интерпретации это значит, что вероятность найти частицу на бесконечности равна нулю, частица находится в практически ограниченной области пространства. Говорят, что частица находится в связанном состоянии.

2. Если Е > 0, то уравнение (II) имеет решения при любых положительных значениях Е . Положительные значения образуют непрерывный спектр. При в функция остается конечной, частица с отличной от нуля вероятностью может уходить в бесконечность. Говорят, что частица находится в несвязанном состоянии.