23

Численные методы

ЛЕКЦИЯ 4

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ. ПОНЯТИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИИ4

Лекция 4

Интерполяция

1.1. Постановка задачи

Во многих численных методах решения дифференциальных уравнений и в методах численного дифференцирования используются формулы и понятия теории, которая называется теорией интерполяции (или интерполирования). Поэтому, прежде чем приступим к рассмотрению основной темы учебного пособия, ознакомимся с основами теории интерполяции. Заметим, термин «интерполяция» впервые употребил английский математик Дж. Валлис в 1656 г. при составлении астрономических и математических таблиц (можно также отметить, что им в 1655 г. был введен общепринятый знак для бесконечности ).

Как известно, процесс научного познания мира приводит к количественному выражению тех или иных явлений. Именно эта количественная природа научных и технологических задач вызывает необходимость обработки числовой информации. В действительности ключ к пониманию многих задач заключается в том, насколько продуманно представлены описывающие их числовые данные. Напротив, плохое представление данных часто приводит к заблуждениям, неправильной интерпретации и даже к ошибкам исследователей. Одним из основных средств при работе с данными научного и инженерного характера является интерполяция.

Результаты экспериментов обычно бывают представлены ограниченным числом в виде таблиц, отражающих зависимость величины исследуемого явления y от фактора x. Для практического же применения, как правило, необходимо знать и промежуточные, по отношению к табличным, значения y.

Если бы была известна форма зависимости , то это означало бы, что любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. Но на практике явная связь между y и x обычно неизвестна, поэтому возникает необходимость приближенной замены данной функции некоторой функцией . Процедура же нахождения функции для данной функции называется приближением функций. (Заметим здесь, что такая же задача возникает и в том случае, если зависимость известна, но она настолько громоздка, что ее использование в практических расчетах затруднительно.) Одним из способов выбора приближения функции и является интерполяция. Интерполяция есть восстановление функции (точное или приближенное) по известным ее значениям. Другими словами, интерполяция есть действие, обратное табулированию функции.

Пусть в результате эксперимента для функции получены табличные ее значений в точках (называемых узлами интерполирования) отрезка . Очевидно, через точки ; ; … можно провести бесчисленное множество кривых (рис. 1).

y

0

Рис. 1. Постановка задачи интерполирования

Таким образом, задача отыскания функции по ее значениям, поставленная в таком виде, является неопределенной, так как можно получить бесчисленное множество функций , принимающих при значения . Значит, чтобы получить единственную функцию , требуется наложить на нее дополнительные условия. Поэтому интерполирующую функцию обычно разыскивают в виде

, (1.1)

где параметры подбирают так, чтобы и в узлах интерполирования совпадали, то есть

, i = 0, 1, …, n.

При интерполировании наиболее трудным является удачный подбор интерполирующей функции . Обычно выражение для выбирают так, чтобы оно позволяло достаточно легко вычислять значения интерполирующей функции. После этого приближенно полагают для всех x из .

Функцию

(1.2)

называют остатком интерполирования (или погрешностью аппроксимации). Чаще всего разыскивают в виде полинома степени n, так как существует единственный полином степени не выше n, принимающий в точках заданные значения . Тогда коэффициенты в выражении (1.1) можно определить из системы линейных уравнений

. (1.3)

Вычислив коэффициенты , мы однозначно определяем интерполирующую функцию в виде

, (1.4)

тем самым задача будет решена.

Рассмотренный случай интерполяции еще называют глобальной интерполяцией, так как интерполяция функции выполняется на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента.

Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения x. В этом случае имеем кусочную (или локальную) интерполяцию.

В тех случаях, когда интерполяционные многочлены используются для приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка , приближение функции называют экстраполяцией.

Интерполирование функций широко применяется в численных методах, в частности:

 для замены сложно вычисляемой функции другой, вычисляемой проще;

 для приближенного восстановления функции на всей области задания по значениям ее в отдельных точках или по другим известным величинам;

 для получения сглаживающих функций;

 для приближенного нахождения предельных значений функций;

 при построении итерационных методов решения уравнений;

 для численного интегрирования (аппарат интерполирования функций лежит в основе построения многих квадратурных формул);

 для построения формул численного дифференцирования;

 при построении численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными;

 при численном решении интегральных уравнений.

1.2. Конечные разности

В тех случаях, когда функция представлена только в виде таблицы, или ее удобно представить в виде таблицы в фиксированных узловых точках, для получения промежуточных значений функции с применением интерполяционных формул используются величины, называемые конечными разностями. Кроме того, таблица конечных разностей дает возможность устранить ошибку, вкравшуюся в значение экспериментально полученной функции и искажающую ее общий характер. Раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном изменении аргумента (в отличие от дифференциального и интегрального исчисления, где аргумент изменяется непрерывно), называется исчислением конечных разностей.

Рассмотрим функцию , заданную таблично в узловых точках :

, , . . ., .

Если шаг – разность между соседними значениями аргумента – постоянный и равен h , тогда, очевидно, .

Выражение вида называется конечной разностью первого порядка (или первой конечной разностью).

Таким образом, конечные разности первого порядка для табличных данных будут следующие (нужно сказать, что в литературе встречаются и другие обозначения для конечных разностей):

.

Используя вычисленные первые разности, можно вычислить разности второго порядка:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

По вторым разностям составляются разности третьего порядка и т.д.

Вообще, разности любого порядка равны (формально полагая )

(i = 0, 1, …; k = 1, 2, … ). (1.5)

Для удобства конечные разности обычно представляют в виде таблицы, в которую выписываются также значения аргумента x и функции y. Такую таблицу называют таблицей разностей. Если разности в таблице записаны против промежутков тех чисел предыдущего столбца таблицы, из которых получается данная разность, то таблица называется диагональной таблицей разностей (табл. 1). Для компактной записи тех же данных иногда используют другую форму таблицы, называемой горизонтальной (табл. 2). Заметим, в табл. 1 и 2 даны разности до шестого порядка.

Можно получить выражение, позволяющее вычислить конечные разности через значения функции.

Так как

(1.6)

то искомое выражение будет следующее:

.

Также можно получить выражение для вычисления значения функции через конечные разности.

Из равенств (1.6) следует:

;

;

.

Отсюда легко получить

.

Как выясним ниже, большинство численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений обычно дают результаты только в виде таблиц, а именно, для аргументов, заданных с постоянным шагом, вычисляются значения искомой функции (или искомых функций). Таким образом, результаты можно представить в виде таблицы разностей и использовать ее для вычисления значений функции для промежуточных (относительно табличных) значений аргумента. При этом нужно выяснить, полиномом какой степени должна быть функция для приближения искомой функции .

Таблица 1. Таблица конечных разностей (диагональная)

Таблица 2. Таблица конечных разностей (горизонтальная)

С этой целью сначала выясним вопрос, каков будет характер изменения разностей , если функция будет представлена полиномом n-й степени, то есть

. (1.7)

Оказывается, в этом случае справедлива теорема (даем без доказательства): если значения независимой переменной заданы равными интервалами, то n-я разность полинома n-й степени есть постоянная величина

. (1.8)

Пример 1. Составить конечные разности для функции , считая шаг h = 1.

Решение. Исходную функцию можно представить в следующем виде (т.е. представить в виде разложения (1.7)). Это равенство будет соблюдаться для n = 3 при ; ; ; . Тогда, используя выражение (1.8), получаем следующую величину:

.

По формуле (1.5) вычислим конечные разности различных порядков.

Разности первого порядка будут такие:

;

;

;

.

Для разностей второго порядка значения будут следующие:

;

;

.

И, наконец, вычислим разности третьего порядка:

;

.

Таким образом, последние результаты совпадают с величиной, вычисленной по формуле (1.8), что является подтверждением вышеприведенной теоремы. Кроме того, полученные результаты показывают, что для нашего примера все разности выше третьего будут равны нулю.

Но верна и обратная теорема, для нас более важная (приводим также без доказательства): если n-е разности табличной функции постоянны и значения независимой переменной образуют арифметическую прогрессию (т.е. заданы равными интервалами), то таблично представлен полином n-й степени.

На основе этой теоремы можно сделать такой вывод: если в разностной таблице, представляющей результаты решения обыкновенного дифференциального уравнения, разности какого-либо порядка в пределах округления вычислений становятся постоянными, порядок этих разностей и будет порядком интерполирующего полинома (1.7).