1. Моделирование систем и сетей массового обслуживания

   1. Потоки событий

Потоком событий (ПС) или случайным потоком событий называется временная последовательность событий, происходящих в случайные моменты времени. Поток событий характеризуется начальным моментом времени t₀, продолжительностью T и случайными моментами времени наступления событий t_i, i=1,2, …, n. Поток событий можно представить последовательностью точек на оси времени (рис. 3.1), расположение которых случайно.

Примеры потоков событий: поток задач, выполняемых процессором, поток сбоев работы компьютера, поток вызовов на телефонной станции, поток частиц, попадающих на счётчик Гейгера, поток железнодорожных составов, поток покупателей, поток больных в поликлинике и т. д.

События, образующие рассмотренный поток, не являются случайными, вероятностями характеризуются производные от них события, например, «число событий n на интервале времени T» или «интервал времени между соседними событиями потока ‑ ∆t_i».

Свойства потока событий

1. Важнейшей характеристикой ПС является интенсивность потока λ ‑ среднее число событий, происходящих в потоке в единицу времени. Интенсивность потока может быть как постоянной, так и зависящей от времени

2. Стационарность. ПС является стационарным, если вероятность того или иного числа событий на интервале времени длиной T не зависит от расположения на оси времени данного интервала, то есть от выбора момента времени t₀.

Вероятностные характеристики стационарных потоков событий не зависят от времени, в частности, интенсивность стационарного ПС λ(t) = const.

Свойством стационарности обладают многие реальные ПС. Стационарным является поток вызовов на АТС в определенных частях суток. Но тот же ПС в течение целых суток не будет стационарным, так как вероятность звонков ночью меньше, чем днём.

3. Однородность. Однородный ПС характеризуется только моментами наступления событий и задается упорядоченным множеством моментов наступления n событий , где - момент наступления i-ого события – неотрицательное вещественное число, t_i ≤ t_i+1, . Однородный ПС может быть задан также в виде последовательности временных интервалов между смежными событиями ∆t₁, ∆t₂, …, ∆t_n, ∆t_i=t_i-t_i-1 (рис. 3.1).

4. Ординарность. ПС называется ординарным (ОПС), если события в нём появляются поодиночке, а не группами. Например, поток клиентов в парикмахерскую или к врачу, обычно ординарен. Поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов – неординарен. Если ПС ординарен, то вероятностью попадания двух событий на малый интервал времени T, можно пренебречь.

5. Наличие последействий. Если моменты появления событий, образующих поток, не зависят друг от друга, то такой поток называется потоком без последействий. В потоке без последействия число событий после некоторого момента времени t_i не зависит от числа ранее наступивших событий и моментов их наступления.

6. Число событий n, наступивших в ПС за время T. является случайной дискретной величиной.