СЕВЕРО-КАВКАЗСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

Кафедра информационных технологий

Математика

Математический анализ и линейная алгебра

Учебно-методическое пособие

Ростов-на-Дону, 2008

Т 81 Тугуз Ю.Р Математика. Математический анализ и линейная алгебра: Учебно-метод.ическое пособие. Ростов н/Д, 2008. – 164 с.

В учебно-методическое пособие включены основные теоретические положения математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, дифференциальных уравнений, математической экономики и методов оптимизации, методические указания по их изучению, а также задачи и примеры решения.

Пособие составлено в соответствии с образовательными стандартами специальностей «Государственное и муниципальное управление», «Менеджмент организации», «Налоги и налогообложение» и «Юриспруденция» и рекомендуется студентам всех форм обучения.

Печатается по решению кафедры. Протокол № 2 от 26сентября 2008 г.

© Тугуз Ю.Р., 2008

Оглавление

1.Общие методические указания по изучению дисциплины 6

2.Основные теоретические положения математического анализа 9

2.1.Теория множеств 9

2.2.Основные свойства и графики элементарных функций 16

2.3.Предел функции, непрерывность функции, производная функции 18

2.4.Анализ функций одной и двух переменных 26

2.5.Интегрирование функций 28

2.6.Определенный интеграл, основные теоремы 30

2.7.Способы интегрирования 34

3.Дифференциальные уравнения 36

3.1.Понятие дифференциального уравнения 36

3.2.Дифференциальные уравнения первого порядка 37

3.3.Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными 39

3.4.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 41

3.5.Линейное уравнение первого порядка 42

4.Векторная алгебра 45

4.1.Понятие вектора и линейные операции над векторами 45

4.2.Скалярное произведение двух векторов 56

4.3.Векторное произведение двух векторов 59

4.4.Смешанное произведение трех векторов 64

5.Аналитическая геометрия на плоскости 67

5.1.Различные виды уравнений прямой на плоскости 67

5.2.Кривые второго порядка 71

5.3.Аналитическая геометрия в пространстве 88

6.Линейная алгебра 107

6.1.Матрицы. Основные определения 107

6.2.Действия над матрицами 108

6.3.Обратная матрица 112

6.4.Системы линейных уравнений 113

7.Задачи оптимизации 122

7.1.Математические модели оптимизации 122

7.2.Задачи линейного программирования 124

7.3.Задачи динамического программирования 130

8.Примеры решения типовых задач 131

9.Варианты заданий к контрольным работам 158

9.1.Контрольная работа №1 158

9.2.Контрольная работа №2 163

10.Задачи для самостоятельной работы 172

11.Вопросы к зачету 180

12.Вопросы к экзамену 181

Литература 182

1. Общие методические указания по изучению дисциплины

Курс «Математический анализ и линейная алгебра» согласно стандартам специальностей «Государственное и муниципальное управление» и «Менеджмент организации» относится к федеральному компоненту общих математических и естественнонаучных дисциплин и содержит следующие разделы:

• математический анализ;

• линейная алгебра;

• методы оптимизации;

• аналитическая геометрия;

• дифференциальные уравнения;

• математическая экономика.

Дисциплина «Математический анализ и линейная алгебра» базируется на школьной программе и имеет связь с параллельно изучаемыми дисциплинами (статистика, информатика, экономическая теория и др.). Знания, полученные при изучении курса математики, используются в следующих дисциплинах: маркетинг, бизнес-планирование, рынок ценных бумаг, теория управления, предпринимательство, разработка управленческих решений, информационные технологии управления и др., а также при выполнении курсовых и дипломных работ.

Для изучения курса математики необходимы знания следующих разделов школьной программы:

• числовые последовательности, арифметическая и геометрическая прогрессии;

• элементарные алгебраические функции, их свойства и графики, линейные преобразования над ними;

• производная функции и основные правила дифференцирования;

• неопределенный и определенный интегралы;

• системы линейных уравнений и неравенств и способы их решения.

В результате изучения курса «Математический анализ и линейная алгебра» студенты должны: знать основные теоретические положения курса и уметь решать типовые задачи.

Для закрепления практических навыков решения задач по математическому анализу и линейной алгебре для студентов заочной формы обучения учебным планом предусмотрены первая и вторая контрольные работы, включающие следующие типовые задачи:

• описание свойств функции и построение графиков;

• анализ функции одной переменной;

• нахождение экстремумов функции двух переменных;

• нахождение первообразной функции и вычисление интеграла;

• решение системы алгебраических линейных уравнений с помощью определителей;

• решение системы алгебраических линейных уравнений с помощью обратной матрицы;

• решение системы алгебраических линейных уравнений методом Гаусса;

• решение задачи линейного программирования симплекс-методом;

• решение транспортной задачи методом потенциалов;

• решение задачи методом динамического программирования;

• решение дифференциальных уравнений.

Контрольные работы для студентов заочной формы обучения должны быть выполнены в отдельных тетрадях, на обложках которых студенту следует указать: группу и год обучения, фамилию, имя и отчество; номер контрольной, номер варианта; дату выполнения и полный домашний адрес с почтовым индексом. Студент выполняет вариант контрольной работы, соответствующий последней цифре номера зачетной книжки или последней цифре порядкового номера в списке группы.

Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления необходимо приводить полностью, с требуемой точностью либо представлять их в виде таблицы. Графики следует оформлять аккуратно, в соответствии с общепринятыми требованиями. В конце контрольной работы нужно указать список используемой литературы и поставить личную подпись. Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля.

Поступившие на проверку контрольные работы рецензируются преподавателем. Работа считается зачтенной, если содержит правильные решения всех задач и защищена студентом. Неправильно выполненные работы возвращаются студентам для доработки. Студент допускается к сдаче зачета и экзамена при успешном выполнении и защите соответствующих контрольных работ.