Добавил:

Uman Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Специальные главы высшей математики

Файл:

Metod 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.02.2014

Размер:

1.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Листинг 3.1. Поиск корня уравнения методом дихотомии

Листинг 3.2. Поиск корня уравнения методом хорд

- 21 -

Рассмотрим теперь решение уравнения методом итераций. Для этого перепишем его в виде x 0,5cosx и заметим, что функция g x 0,5cosx на отрезке 0;0,5 удовлетворяет следующим условиям:

g C1 0;0,5 ,

для любого x 0;0,5

выполняется g x 0;0,5 ,

g x

0,5.

Следовательно, последовательность xn 0,5cosxn 1,

x0 0 сходится к

корню уравнения и имеет место неравенство

0 x1

2n 1

Пример поиска корня уравнения методом итераций иллюстрируется листин-

гом 3.3.

Листинг 3.3. Поиск корня уравнения методом итераций.

- 22 -

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Систему уравнений с n неизвестными можно записать в виде

1 x1,...,xn 0;

2 x1,...,xn 0;

...........................

fn x1,...,xn 0

где x x1,...,xn Т

или, более

кратко,

векторной

форме f x 0,

f x f1 x ,...,

fn x Т . Ведем следующее обозначение

f1 x1,...,xn

...

1,..., fn

f2 x1,...,xn

f x

...

x1,...,xn

.................................................

fn x1,...,xn

...

Мы

будем

считать, что

пространстве

задана

норма

виде

max

. Тогда,

согласованная с ней норма матрицы A

a11...a1n

име-

...........

1 i n

...a

ет вид

max

ai j

. В данной главе мы рассмотрим некоторые методы

1 i n

j 1

решения нелинейных систем уравнений.

4.1. Метод итераций

Пусть дана система линейных уравнений

a11x1 a12x2 ... a1nxn b1,

a22x2

a2nxn b2,

a21x1

.............................................

...

b .

Преобразуем ее следующим образом. Предположим, что диагональные коэффициенты aii отличны от нуля. Тогда систему можно переписать в виде

- 23 -

x1 1 b12x2 ... b1nxn,

x2 2 b21x1 b23x3 ... b2nxn,

.............................................

xn n bn1x1 bn2x2 ... bn,n 1xn 1,

или в матричном виде

x Bx .

Решение этой системы находится как предел последовательности xn 1 Bxn ,

где за нулевое приближение можно принять любой вектор, например столбец свободных членов.

Теорема 4.1. Если B 1, то система линейных уравнений имеет единствен-

ное решение xˆ. Последовательность xn сходится к решению и имеет место

оценка

x xn

x1 x0

Рассмотрим систему нелинейных уравнений специального вида

x x ,

(4.1)

где x 1 x ,..., n x Т . Решение системы (4.1) будем искать как пре-

дел последовательности xn , где xn 1 xn .

Теорема 4.2. Пусть функции i x действительны, определены и непрерыв-

ны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой

замкнутой ограниченной области G Rn , причем
	для всех x G выполняется x G;
		x	q 1, x G.
		x	q 1, x G.
Тогда		последовательность xn сходится		при любом выборе начального
приближения x0 G, и предельный вектор				x* lim xn является в области G
				n

единственным решением системы (4.1). Кроме того, имеет место неравенство

(4.2)

1 q

Как было сказано в главе 3, лабораторная работа по теме «Численные методы решения нелинейных уравнений и систем» состоит из двух частей. Во второй части работы требуется найти приближенное решение системы с заданной точностью.

Пример. Найти приближенное решение системы

- 24 -

				1
0.25sinx1						cosx2		x1		0,
0.25sinx1						cosx2		x1		0,
				3
	1	sin x1					3x2
	1		2x		2				0
	3		2x		2				0
	3

в квадрате D		x,y : 1 x	1	1, 1 x						2				с точностью 0,001.
в квадрате D		x,y : 1 x		1, 1 x								1		с точностью 0,001.
Решение. Перепишем систему в виде:														1
														1
		x1			0.25sinx1										cosx	2,
		x1			0.25sinx1									3	cosx	2,
														3
							1
							1								2
		x		2			9		sin x1				2x		2
x1							9
x1
Пусть x	. Введем функции

x2
1 x 0.25sinx1						1		cosx			2,		2	x			1	sin x1 2x	22	.
1 x 0.25sinx1								cosx			2,		2	x				sin x1 2x	22	.
					3											9

Запишем матрицу Якоби этой системы функций:

			1, 2					1		sinx1										1	sinx	2
										sinx1											sinx	2
							4													3
																									.
			x1,x2				1											4							.
			x1,x2				1								2			4						2
										cos x1			2x2							x2 cos x1 2x2
							9			cos x1			2x2					9		x2 cos x1 2x2
Тогда							9											9
Тогда
	1, 2				max				1		sinx1			1		sinx			,


																	2
	x1,x2								4					3			2
	x1,x2								4					3
1		cos x1				2			4			2 cos x1			2							7		5		7
1						2			4						2							7		5		7
				2x2							x				2x2					max			,
				2x2							x				2x2					max			,
9									9													12		9		12
9									9													12		9		12

Так как при любом x D имеем 1 x , 2 x D, то в квадрате D сущест-

вует единственное решение данной системы. При этом

	x	n		7 n 12			x	1	x		0	, где x				n 1			1	x	n	, 2 x	n	.
		n		7 n 12				1			0					n 1					n		n


				12	5
			0	12	5					1										1
Положим x	0			, тогда x		1					,0			x	1		x	0
	0					1									1			0
													и								. Следовательно, по-
													и							3	. Следовательно, по-
			0							3
			0							3

следнее неравенство для определения количества итераций запишется в виде:

7		n 4		0,001.

	12		5

Решая данное неравенство, получаем n 13. Итак, x13 является приближенным решением системы, удовлетворяющим заданной точности. В листинге

4.1приведен документ MathCad, в котором реализован метод итераций.

-25 -

Листинг 4.1. Метод итераций

4.2. Метод Ньютона

Пусть дана система нелинейных уравнений f x 0. Предположим, что найдено k -ое приближение x k x1k ,...,xnk одного из изолированных ре-

шений 1,..., n системы. Тогда	точное решение 1,..., n можно
представить в виде x k k , k	1k ,..., nk , где	k - погрешность
корня. Следовательно,
f x k k 0.

Предположим, что функции f1,..., fn дифференцируемы в некоторой выпуклой области G. Тогда для j 1,...,n, по формуле Тейлора, получим

- 26 -

fj x k

fj x1

,...,xn

fj x1

,...,xn

i 1

где Rj - остаточный член формулы Тейлора.

Отбрасывая остаточные члены, получим

0 f x k k f x k f x k k .

Если матрица f x k не вырождена, то, из последнего равенства находим

k f x k 1 f x k .

Поэтому,

x k 1 x k k x k f x k f x k , k 0,1,...

Метод нахождения решения 1,..., n как предел последователь-

ности x k , называется методом Ньютона. В практических вычислениях в

качестве условия окончания итераций обычно используется критерий

x k 1 x k ,

где - заданная точность.

Пример. Методом Ньютона найти положительное решение системы

x2 y2 5;

x ey 2

Решение. Для выбора начального приближения применяем графический способ. Построим в интересующей нас области кривые x2 y2 5, x ey 2 (рис. 4.1). Из приведенного рисунка видно, что положительное решение находится в квадрате 1;2 1;2 . В качестве начального приближения примем x0 1,5; y0 1,5.

- 27 -

Рис. 4.1. Определение начального приближения
x2 y2 5		2x	2y
В данном примере f x	. Следовательно,	f x	ey	. В
x ey 2		1

листинге 4.2. приведен документ MathCad, в котором реализован метод Ньютона.

Листинг 4.2. Метод Ньютона

- 28 -

ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

I. Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами с использованием среды MathCad.

Задание: решить разностное уравнение с использованием z – преобразования. 1) xn 5 6xn 4 15xn 3 116xn 2 48xn 1 576xn n;

x0 0; x1 1;x2 0; x3 1; x4 2

2) xn 5 4xn 4 xn 3 10xn 2 4xn 1 8xn n; x0 0; x1 1;x2 0; x3 1; x4 2

3) xn 5 8xn 4 25xn 3 38xn 2 28xn 1 8xn 1; x0 0; x1 1;x2 0; x3 1; x4 2

4)xn 4 2xn 3 3xn 2 4xn 1 4xn 1 n ;

x0 0; x1 1;x2 0; x3 1

5)xn 4 4xn 3 12xn 2 32xn 1 64xn 1 n ;

x0 0; x1 1;x2 0; x3 1

6)xn 4 2xn 3 23xn 2 24xn 1 144xn n2; x0 0; x1 1;x2 0; x3 1

7)xn 4 6xn 3 11xn 2 60xn 1 100xn 1; x0 0; x1 1;x2 0; x3 1

8)xn 5 4xn 4 23xn 3 38xn 2 220xn 1 200xn n 1;

x0 0; x1 1;x2 0; x3 1; x4 2

9)xn 5 16xn 4 97xn 3 278xn 2 380xn 1 200xn n 2; x0 0; x1 1;x2 0; x3 1; x4 2

10)xn 5 9xn 4 30xn 3 46xn 2 33xn 1 9xn n 1; x0 0; x1 1;x2 0; x3 1; x4 2

11)xn 5 7xn 4 19xn 3 25xn 2 16xn 1 4xn n 3; x0 0; x1 1;x2 0; x3 1; x4 2

12)xn 5 25xn 4 235xn 3 1015xn 2 1960xn 1 1372xn n 1; x0 0; x1 1;x2 0; x3 1; x4 2

13)xn 5 17xn 4 67xn 3 161xn 2 784xn 1 1372xn n 4; x0 0; x1 1;x2 0; x3 1; x4 2

14)xn 5 25xn 4 235xn 3 1015xn 2 1960xn 1 1372xn n; x0 0; x1 1;x2 0; x3 1; x4 2

15)xn 5 22xn 4 184xn 3 720xn 2 1296xn 1 8647xn 1; x0 0; x1 1;x2 0; x3 1; x4 2

-29 -

II. Уравнение с одним неизвестным и методы его численного решения Задание. Решить нелинейное уравнение. Начальное приближение определить графически. Точность 0.01

1)2x x2 0.5 0 найти отрицательный корень.

2)1 x2 ex 0.1 0 найти положительный корень.

3)2x x2 2 0 найти положительный корень.

4)4x 5x 2 0 найти положительный корень.

5)10x 5x 2 0 найти положительный корень.

6)3x 5x2 1 0 найти положительный корень.

7)x6 5x 2 0 найти отрицательный корень.

8)x6 5x3 2 0 найти отрицательный корень.

9)x5 7x2 3 0 найти отрицательный корень.

10)ln(x 2) x2 0 найти положительный корень.

11)ln(x 1) 2x2 1 0 найти положительный корень.

12)sinx 2x2 0.5 0 найти положительный корень.

13)cosx 2x2 0.5 0 найти положительный корень.

14)2sinx x 2 0 найти корень на отрезке [0;2].

15)cos2 x x 4 0 найти отрицательный корень.

III. Системы уравнений

1. Доказать существование и единственность решения системы уравнений

		sinx		1	cosx			2	4x	1	0,
				1				2		1
												0
		sin x12 x22 9x2										0

	1		1			1				1
в квадрате D x,y :		x1		,			x2					. Сколько итераций необхо-
в квадрате D x,y :	2	x1	2	,		2	x2			2		. Сколько итераций необхо-
	2		2			2				2

димо сделать в методе простой итерации, чтобы найти решение этой системы с точностью 0,001, приняв за начальное приближение x 0 0,0 . Найти ре-

шение системы методом итераций.

2. Доказать существование и единственность решения системы уравнений

sin x			1	cosx	2	10x	1	0,
			1		2		1
	x	2x		2 30x2		0
e	1			2 30x2		0

в квадрате D x,y : 1 x1 1, 1 x2 1 . Сколько итераций необходимо сделать в методе простой итерации, чтобы найти решение этой системы с точностью 0,001, приняв за начальное приближение x 0 1,1 . Найти реше-

ние системы методом итераций.

- 30 -

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Специальные главы высшей математики

#
27.02.201472.7 Кб17Laba 1.doc
#
27.02.2014109.57 Кб13Laba 2.doc
#
27.02.201454.78 Кб11Laba 3.doc
#
27.02.2014681.54 Кб39Metod 1.pdf
#
27.02.20141.24 Mб36Metod 2.pdf
#
27.02.201436.86 Кб14Vopros.doc
#
27.02.2014233.15 Кб20ргр.pdf
#
24.03.20150 б8Файлы с сайта baumanki.net