Metod 1

K j4 hF xj h,Yj Kj3 ,

1

Yj 1 Yj 6 K j1 2K j2 2Kj3 Kj 4 .

2.5. Типовые примеры

Пример 2.2. Численно решить задачу Коши методом Эйлера на отрезке [0;1] с заданным шагом h=0,1. Оценить погрешность по методу Рунге.

y y ex y(0) 1,5.

Численное решение сравнить с точным решением ytrue(x) ex e x . 2

Решение. Исходя из начальной точки x0 0, y0 1,5, рассчитаем значение y1 в узле x1 0,1 по методу Эйлера:

y1 y0 h f (x0,y0) 1,5 0,1 ( 1,5 e0) 1,45.

Аналогично получим значение в следующем узле:

y2 y1 h f (x1,y1) 1,45 0,1 ( 1,45 e0,1) 1,416.

Продолжая вычисление и, введя обозначение i yi ytrue(xi) , i 0,1,...,N , занесем результаты в таблицу 2.1. На рисунке 2.2 представлен график точного решения задачи Коши (сплошная линия) и найденная сеточная функция.

Таблица 2.1. Результаты вычислений

Для оценки погрешности по методу Рунге решим данное уравнение с шагом 0,2. Результаты представлены в таблице 2.2

21

Для оценки погрешности по методу Рунге решим данное уравнение с шагом 0,2. Результаты представлены в таблице 2.4

Таблица 2.4. Оценка погрешности по Рунге

Пример 2.4. Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на указанном отрезке с заданным шагом h методом Рунге-Кутты четвертого порядка. Полученное численное решение

сравнить с точным решением y cosx 11sinx sin3x. Определить

8 8

погрешность решения.

y y sin3x 0, y(0) 1,

y (0) 1,

x [0;1], h 0,1.

Решение. Введением новой переменной z y решение исходной начальной задачи для дифференциального уравнения второго порядка сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка:

y z,

z y sin3x, y(0) 1, z(0) 1,

x [0;1], h 0,1.

23

В листинге 2.1 представлен документ MathCad, в котором реализован метод Рунге-Кутты. В таблице 2.5 представлены результаты вычислений. На рисунке 2.4 показаны графики приближенного решения и точного.

Листинг 2.1. Метод Рунге-Кутты

Таблица 2.5. Результаты вычислений

24

2.6. Выполнение лабораторной работы по численному решению задачи Коши в среде MathCad

Целью работы является укрепление знания студентов по численным методам решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения на основе проведения экспериментальной исследовательской работы.

Лабораторная работа состоит из двух заданий. В первом задании, выполняемом дома, студент должен численно решить задачу Коши одним из предлагаемых ему методов с заданным шагом и оценить погрешность по методу Рунге. Второе задание выполняется в компьютерном классе и состоит оно в численном решении задачи Коши с заданной точностью. Разберем типовой пример.

Пример 2.2. Численно решить задачу Коши:

y 0,317(x2 cos(1,4x)) 1,344y y(0,2) 0,25

на отрезке 0,2;1,2 с шагом h 0,1 методом Эйлера - Коши.

Решение. По методу Эйлера – Коши, имеем

yj yj 1 h2 f xj 1,yj 1 f xj,yj 1 hf xj 1,yj 1 , y0 0,25; x0 0,2; h 0,1; xj x0 jh; j 1,2,...,10,

где f (x,y) 0,317(x2 cos(1,4x)) 1,344y. Следовательно, получаем

y1 0,32; y2 0,4; y3 0,491; y4 0,596; y5 0,717;

y6 0,855; y7 1,015; y8 1,199; y9 1,412; y10 1,658.

Для оценки погрешности численно решаем задачу Коши с шагом h 0,2: y1 0,398; y2 0,593; y3 0,849; y4 1,189;y5 1,64.

Таким образом, решение полученное с шагом h 0,1, найдено с точностью

max( y2 y1 ; y4 y2 ; y6 y3 ; y8 y4 ; y10 y5 ) 0,006.

Второе задание – это численное решение задачи Коши с заданной точностью . Соответствующий этому заданию документ MathCad представлен в листингах 2.2 и 2.3. Представлен так же график решения.

25

Листинг 2.2. Метод Эйлера – Коши с автоматическим выбором шага

26

Листинг 2.3. Продолжение лабораторной работы

27

ЛИТЕРАТУРА

1.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. –

Наука, 1966;

2.Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука 1978;

3.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.:

Наука, 1987.

4.Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. - М.:

Дрофа, 2006.

5.В.Ю.Гидаспов, И.Э.Иванов, Д.Л.Ревизников, В.Ю.Стрельцов, В.Ф.Формалев. / Под редакцией У.Г.Пирумова. Численные методы. Сборник задач. - М.: Дрофа, 2007.

6.Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. - М.: Физматлит, 2004.

28

ЗАДАЧИ

1.Вычисление интеграла одним из пяти методов: метод левых прямоугольников, метод правых прямоугольников, метод средних прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона с оценкой погрешности по методу Рунге.

29

1.y 0,133(x2 sin2x) 0,872y.

2.y 0,215(x2 cos1,5x) 1,283y.

3.y 0,158(x2 sin0,8x) 1,164y.

4.y 0,173(x2 cos0,7x) 0,754y

5.y 0,221(x2 sin1,2x) 0,452y

6.y 0,163(x2 cos0,4x) 0,635y

7.y 0,218(x2 sin1,6x) 0,718y

8.y 0,145(x2 cos0,5x) 0,842y

9.y 0,213(x2 sin1,8x) 0,368y

10.y 0,127(x2 cos0,6x) 0,573y

11.y 0,232(x2 sin1,4x) 1,453y

12.y 0,417(x2 cos0,8x) 0,972y

13.y 0,324(x2 sin1,5x) 0,612y

14.y 0,263(x2 cos1,2x) 0,453y

15.y 0,372(x2 sin0,7x) 0,758y

16.y 0,343(x2 cos0,4x) 1,315y

17.y 0,276(x2 sin1,6x) 0,988y

18.y 0,173(x2 cos0,6x) 1,534y

19.y 0,258(x2 sin0,4x) 0,724y

20.y 0,317(x2 cos1,4x) 1,344y

30