1. Гармонические колебания. Скорость и ускорение гармонических колебаний. Энергия гармонических колебаний
Колебательный процесс – процесс, повторяющийся во времени (биение сердца, дыхание, кровоток, смена дня и ночи, времён года)
Асцеляторы – всё, что может совершать колебания (листок, пружинный маятник, е вокруг ядра, сердце)
Устойчивые состояние – все колебания, процессы, не меняющие частоту колебаний.
Устойчивые колебания – асцеляторы меняют частоту колебаний.
Гармонические колебания – колебания, совершающиеся по законам sin или cos.
-
Математический маятник. На него действуют силы (векторы): T ( сила натяжения нити длиной l = 2п*корень(l/g) ), F (квазиупругая сила = -kx), mg (сила притяжения)
-
Пружинный маятник. На него действуют Fупр = -kx
Уравнения, подчиняющие уравнения колебаний математического и пружинного маятника з-нам sin и cos:
x = Ao*sin(Wo*t+фи0)
x = Ao*cos(Wo*t+фи0)
x – мгновенное отклонение асцелятора от положения равновесия
Ao – const, максимальное отклонения асцелятора от положения равновесия
Wo – собственная частота асцелятора
фи0 – начальная фаза
Wo*t+фи0 – просто фаза
Часто гармонические колебания представляют в векторной форме или в виде вращения вектора. Для того, чтобы определить гармонические колебания в виде векторной формы, надо отложить модуль вектора, длину вектора, начальный угол с осью координат фи0, скорость вращения вектора W0
Скорость является первой производной от координаты по времени, величина численноа равная S, которое проходит тело за 1 ед. времени. V = x*1/t = A*W*cos(Wt+фи0) = Vo*cos(Wt+фи0) – уравнение скорости
Vo = W*A – амплитуда скорости
Ускорение – производная от скорости по времени: a = V*1/t = -A*W^2*sin(Wt+фи0) = a0*sin(Wt+фи0) – уравнение ускорения.
a0 = A*W^2 – амплитуда ускорения
Vo – в момент прохождения положения равновесия
Энергия гармонического колебания.
Рассмотрим колебания груза на пружине.
m – масса груза
k – коэффициент упругости пружины
Если пружину растянуть или сжать на величину x, то пружина запасается потенциальной энергией деформации:
Eп = k*x^2/2
x0 = A – амплитуда колебаний
т.к. x = x0*sin(Wt+фи0) – уравнение гармонических колебаний =>
Eп = 1/2k*A^2*sin^2(Wo*t+фи0) – уравнение потенциальной энергии в любой момент времени.
Кинетическая энергия определяется соотношением: Eк = m*Vmax^2/2, т.к. скорость – это производная координат по времени =>
V = x0*W*cos(Wo*t+фи0) – уравнение скорости. И тогда x0*W = Vmax – амплитуда скорости
Eк = 1/2m*A^2*Wo^2*cos^2(Wo*t+фи0)
m*Wo^2 = k, т.к. T = 2п*корень(m/k) – период колебаний. T = 2п/Wo = 1/Ню
Eк = 1/2k*A^2*cos^2(Wo*t+фи0) – уравнение кинетической энергии
Полная энергия колебаний E = Eк + Eп = 1/2k*A^2*sin^2(Wo*t+фи0) + 1/2k*A^2*cos^2(Wo*t+фи0) = 1/2k*A^2
E полная = 1/2k*x0^2
2 Затухающие колебания и декремент затухания. Апериодические колебания.
Свободные колебания (происходящие без внешнего воздействия периодически действующей силы) являются затухающими. График затухающих колебаний имеет вид:
Амплитуда колебаний с каждым разом убывает. Затуханию способствуют силы трения и сопротивления, возникающие в средах. Пусть r-коэффициент трения, характеризующий свойство среды оказывать сопротивление движению. Тогда БЕТТА= r/2m – коэффицент затухания.
Wo= корень(K/m) – циклическая частота собственных колебаний, тогда W^2=Wo^2-БЕТТА^2, где W – циклическая частота затухания колебаний.
Быстрота затухания колебаний определяется коэффициентом затухания. Уравнение затухающих колебаний имеет вид А=Ао*l в степени минус бета*t
Ao – первоначальная амплитуда, А-амплитуда затухающих через время t.
T=2пи/W=2пи/корень(Wo^2-бета^2).
Лямда=lnA(t)/A(t+T)=lnAo*(e в степени минус бета*t)/Ao*e^-бета*(t+T)=ln(e^ бета*t) –логарифмический декрет затухания.
!Лямда=бета*Т!- связь логарифмического декремента затухания с коэффициентом затухания. При сильно затухании колебания становятся апериодическими (если бета^2>Wo^2)