1.3. Завдання 3. Перетин поверхонь геометричних тіл площиною.

Склад завдання: побудувати три проекції лінії а перетину площини Σ з поверхнею багатогранника та кривою поверхнею.

Кожна задача виконується на аркуші формату А3.

Перед виконанням завдання рекомендується вивчити 1, 2, 3 с. 63-67.

В кожному варіанті по два тіла: піраміда та циліндр, або конус та призма. Для конусів і циліндрів основи діаметром 100 мм лежать на площинах П₁ або П₂. Для призм і пірамід – вписані в ці кола правильні багатокутники. Висоти всіх тіл дорівнюють 125 мм. Площина Σ – проекціююча і визначається двома величинами – a та β. Крім того, піраміди та призми займають ряд положень, обертаючись навколо власних осей на кут α.

Задача побудови лінії перетину поверхні багатогранника з площиною зводиться до загальної задачі перетину прямої з площиною. Щоб знайти лінію перетину поверхні багатогранника з площиною треба знайти точки перетину з нею кожного ребра і з‘єднати попарно точки, що лежать в одній грані.

Перетин площиною кривих поверхонь будують способом допоміжних січних площин, за умовою, що лінія їх перетину з поверхнями повинна бути найпростішою (пряма, коло).

Варіанти завдань надано на рис. 3. Змінні величини а, α, β - в табл. 3.

Рис. 3

Таблиця 3.

Варіанти завдань до перетину поверхонь геометричних тіл площиною

Номер варіанта	1		2		3		4		5		6		7		8		9		10
Рисунки	Рис. 3а, рис. 3ж																Рис 3в, рис. 3е
а, мм	60	40	40	60	40	40	60	45	40	50	45	50	50	50	40	60	40	60	55	50
β, градус	45	45	30	60	60	60	60	75	45	30	45	45	30	60	30	30	45	45	60	60
α, градус	0	-	60	-	30	-	45	-	45	-	0	-	30	-	45	-	-	60	-	45
Номер варіанта	11		12		13		14		15		16		17		18		19		20
Рисунки	Рис 3в, рис. 3е										Рис 3г, рис. 3д
а, мм	50	50	45	45	45	45	55	55	50	50	55	55	55	50	45	60	60	60	40	45
β, градус	45	45	75	60	45	45	30	30	60	30	60	60	45	75	75	30	45	45	75	30
α, градус	-	60	-	0	-	75	-	60	-	30	-	0	-	30	-	30	-	30	-	45
Номер варіанта	21		22		23		24		25		26		27		28		29		30
Рисунки	Рис 3г, рис. 3д						Рис 3б, рис. 3є
а, мм	40	45	40	45	45	50	50	55	50	50	45	45	45	45	50	40	50	40	50	40
β, градус	60	45	55	45	30	75	75	45	30	60	60	45	30	30	45	60	75	30	60	75
α, градус	-	30	-	45	30	-	90	-	90	-	30	-	75	-	0	-	0	-	60	-

13

На рис. 4 показаний приклад виконання завдання побудови лінії а перетину поверхні правильної трьохгранної призми з основою на П₂ горизонтально - проекціюючою площиною Σ. В цьому випадку точки 3, 4 лінії перетину, що лежать на ребрах, знаходяться безпосередньо. Послідовність побудови показана стрілками. Так само знаходять точки 1 та 2, що лежать на основі призми. З‘єднавши їх, одержимо шукану лінію а (1-2-4-3-1). Будуємо третю проекцію на площині П₃ з урахуванням видимості граней призми та ділянок лінії перетину.

При побудові третьої проекції для забезпечення проекційного зв‘язку між проекціями використовують постійну пряму К₃ комплексного рисунку. Вона являє собою профільну проекцію лінії перетину профільної площини проекцій П₃ бісекторною площиною К, що проходить через другу і четверту четверті та ділить двогранний кут між площинами П₁ ,П₂ навпіл, тобто під кутом 45⁰ до них.

Лінії невидимого контуру зображуються тонкими штриховими.

Рис. 4

На рис. 5 - приклад побудови лінії а перетину поверхні прямого кругового конуса фронтально - проекціюючою площиною Σ, з положення якої визначаємо, що цією лінією буде еліпс. Проведемо через вершину S конуса фронтально - проекціюючу допоміжну січну площину Ω, яка перетинає конус по твірним і , а задану площину Σ - по фронтально-проекціюючій прямій (8₂≡9₂). Точки 8 і 9 будуть належати до лінії перетину. Послідовність побудови показана стрілками. Ці точки являються проміжними. Точки 1 і 2, що лежать на основі конуса, являються опорними (характерними) і знаходяться безпосередньо. Опорні точки 4 і 5, що лежать в одній профільній площині з віссю конуса, знайдено при допомозі горизонтальної допоміжної січної площини Γ, яка перетинає конус по колу радіуса R. Перетин цього кола з відповідною фронтально - проекціюючою прямою (4₂≡5₂) перетину площин Σ і Γ визначить точки 4₁ і 5₁ , що лежать на горизонтальній проекції лінії перетину. Щоб визначити малу вісь еліпса, поділимо велику вісь навпіл.

14

Мала вісь при цьому спроекціюється на П₂ в точку 6₂≡7₂. При допомозі горизонтальної допоміжної січної площини Φ, проведеної через малу вісь, знаходимо її натуральну величину 7₁-6₁. Точку 3 на фронтальній проекції обрису конуса знаходимо безпосередньо. При розв‘язанні подібних задач потрібно побудувати всі опорні точки та декілька проміжних. Знайдені точки послідовно сполучаємо і одержуємо горизонтальну проекцію а₁ лінії перетину. Будуємо профільну проекцію з урахуванням видимості ділянок лінії перетину та конуса.

Рис. 5

15