- •«Элементарные функции»
- •11 Группы
- •Проверил:
- •Введение
- •II. Свойства и графики элементарных функций
- •Степенная функция
- •Квадратичная функция
- •3. Показательная функция
- •4. Логарифмическая функция
- •5. Обратно пропорциональная зависимость
- •Тригонометрические функции
- •III. Мои примеры графиков
- •IV. Список использованной литературы
Красноярский государственный педагогический университет
реферат по математике
«Элементарные функции»
Выполнила:
студентка 1 курса
факультета информатики
11 Группы
Дивейко н.в.
Проверил:
адольф в. а.
г. Красноярск 2001 г.
план
-
введение
-
свойства и графики элементарных функций
-
Степенная функция
-
квадратичная функция
-
показательная функция
-
логарифмическая функция
-
обратно пропорциональная зависимость
-
тригонометрические функции
-
мои примеры графиков
-
Список использованной литературы
-
Введение
К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.
II. Свойства и графики элементарных функций
-
Степенная функция
Степенной функцией называется функция вида f(x)=x, где - любое действительное число, называемое показателем степени.
Свойства степенной функции.
-
Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел.
-
Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.
-
Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.
-
Степенная функция непрерывна во всей области определения.
-
Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле
(x)= .x-1.
-
Степенная функция x монотонно возрастает во всей области определения при <0.
y = x 5/2
1
1
y
y
y = x1/2
Рис. 1 Рис. 2
-
При <0 и >1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<<1 – вогнутостью вниз.
Графики степенной функции при некоторых значениях приведены на Рис. 1 и Рис. 2.
-
Квадратичная функция
Функция f(x)=ax2+bx2+c, где a, b, c – некоторые действительные числа (a0), называется квадратичной функцией. График квадратичной функции называется параболой.
Квадратичная функция может быть приведена к виду
f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a, (1)
выражение b2-4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Представление квадратной функции в виде (1) называется выделением полного квадрата.
Свойства квадратичной функции и ее график
-
Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая.
-
При b0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция – четная.
x
0
f(x) = (x+1/2)2
y
0
x
-1/2
f(x) = x2
y
Рис. 3 Рис. 4
-
Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
-
Функция имеет единственную критическую точку
x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.
Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.
Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b2-4ac)/4a) называется вершиной параболы.
-
Область изменения функции: при a>0 – множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +); при a<0 – множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].
-
График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b2-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x=-b/(2a); если b2-4ac<0, пересечения с осью 0x нет.
Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) – образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0).
График функции
f(x)=ax2+bx+c
(или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x2 следующими преобразованиями:
а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0);
б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;
в) параллельным переносом r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).