1. Матрицы. Основные определения. Типы матриц.

Матрица-таблица чисел,сост. из m строк и n столбцев.

Типы:

-квадратная(m=n)

-треугольная(если выше\ниже диогонали нули)

-диагональная(если все нули крому диаг.)

-единичная(по диагонали 1)

2. Линейные операции над матрицами

-сложение

-вычитание матр.

-умножение матр. на чило

-умнож. матр.(когда число столб. 1 сомножителя равно числу строк 2 сомнож.,А*В не равно В*А)

3. Умножение матриц.

Возможнокогда число столб. 1 сомножителя равно числу строк 2 сомнож.,

А*В не равно В*А, А*Е=Е*А=А

4. Определители 2-ого и 3-его порядка. Свойства определителей.

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, обозначаемое символом

и определяемое равенством det А = а₁₁а₂₂ - а₁₂а₂₁.Диагональ, образованная элементами а₁₁ и а₂₂ называется главной.Диагональ, образованная элементами а₁₂ и а₂₁ называется побочной. Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника

Свойства:

-Величина опред. не изменится, если его строки и столбцы поменять ролями

-При перестановке двух столбцов(строк) опред. меняет знак на противоположный

-Общий множитель элементов к-л строки(столбца) может быть вынесен за знак опред.

- Если все элементы некоторого столбца (некоторой строки) =0, то сам определитель =0

- Если элементы двух столбцов (строк) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю

-Если в опред. есть 2 одинаковых строки(столб.) то опред.=0

-Если к-л строка(столб.) представляет собой сумму 2-х эл-ов,то он равен сумме 2-х опред.

-Если к эл-ам к-л строки(столб.) прибавить эл-ты др.строки(столб.),умнож. на некот. константу, то величина опред. не изменится

-Сумма произведений эл-ов к-л строки на алгебраич. дополнения другой строки = 0

5. Миноры и алгебраические дополнения

Минором некоторого элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, который получается, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на (-1)^i+k

А_ik = (-1)^i+k M_ik.

6. Обратная матрица. Условия обратной матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

Обратная матрица- такая матрица(А^-1),что при умножении на А даёт единичную матрицу.

detA не равн. 0 (невырожденная)

Алгоритм:

-провер. определитель

-А транспонир. (строки замен столб)

-А союзн.

- А^-1 = (1/detA )*А союз.

7. Системы линейный алгебраических уравнений. Основные определения.

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

это система уравнений вида

СЛАУ:

совместн. (определ. и неопредел.)

несовместн.

b_i=0,то слау однородная,в противном случае неоднородная.

Решением слау назыв. упорядоченный набор чисел,кот. обращает каждое уравн. системы в тождество.

Совместая система –имеет 1 и более решений, несовместна-нет решений.

Определённая сист.-единственное реш, Неопред.сист.- бесконечное множество решений.