44. Метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов предусматривает нахождение параметров a,b(a,b,c) из условия минимума суммы квадратов отклонений для линейной зависимости:

S(a,b)=_i=1ⁿ [y_i-(x_i)]²

2. Предел функции и его свойства.

Функция f(x) имеет предел A в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к A.

Свойства:

1)функция y=f(x) при ха или х∞ может и не иметь предела

2)если f(x)b₁ при ха так, что х принимает только значения < a(x<a), то b₁ называется левосторонним пределом функции f(x) в точке а

lim_xa-0 f(x)=b₁

3)если f(x)b₂ при ха (x>a), то b₂ называется правосторонним пределом

lim_xa+0 f(x)=b₂

8. Непрерывные и разрывные функции. Классификация точек разрыва. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если эта функция определена в некоторой окрестности точки х₀ и существует предел lim_xx0 f(x)=f(x₀)

Разрывная функция - функция, имеющая разрыв в некоторых точках.

Если при каком-либо значении х₀ не выполняются указанные условия, то точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x)

Классификация точек разрыва:

1)точка х₀ называется точкой разрыва I рода, если для нее существуют конечные пределы

f(x₀-0)=lim_xx0-0 f(x₀+0)=lim_xx0+0

2)все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

3)если f(x₀-0)= f(x₀+0), то точка разрыва х₀ называется устранимой.

Т. Непрерывная на [a,b] функция достигает на этом отрезке хотя бы один раз своего наибольшего и наименьшего значения

Т. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на [a,b], A=f(a) b B=f(b)

Если A≠B, то для  числа С(A,B) найдется такое число с(a,b), что f(c)=C

22. Монотонные функции. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезках.

Монотонна функция - это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно.

Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Т. Пусть функция y=f(x) непрерывна на [a,b] дифференцируема на (a,b) и f’’(x)>0(0), тогда эта функция  (не ) на [a,b]

Док-во: Пусть x₁,x₂ [a,b], x₁<x₂. По т.Лагранжа f(x₂)-f(x₁)=f’’(c)(x₂-x₁)

Т.к. f’’(c)>(0), то f(x₂)>()f(x₁)  f(x)  (не )

Аналогично теорема справедлива и для  (не )

Т. Пусть функция y=f(x) непрерывна на [a,b] дифференцируема на (a,b) и f’’(x)<0(0), тогда эта функция  (не ) на [a,b]

32. Дифференцируемость функций двух переменных в точке.

Функция Z=f(x,y), полное приращение которой Z может быть представлено в виде суммы полного дифференциала dZ и бесконечно малой величины высшего порядка, называется дифференциалом данной точки.

Z=dZ+0(dZ)

38. Теоремы о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.

Т. Пусть функция Z=f(x,y) и ее частные производные 1-го порядка и смешанные определены и непрерывны в некоторой окрестности точки (x,y). Тогда f’’’_yx=f’”_xy

Док-во: Рассмотрим выражение: A=[f(x+x,y+y)-f(x+x,y)]-[f(x,y+y)-f(x,y)]=(x+x)-(x)

По т.Лагранжа A=’(c_x)x, x<c_x<x+x

’(c_x)=f’’_x(x,y+y)-f’’(x,y)

’(c_x)=f’’_x(c_x,y+y)-f’’(c_x,y)

По т.Лагранжа ’(c_x)= f’’’_yx (с_x,c_y)y, y< c_y< y+y

A= f’’’_yx (с_x,c_y)xy

Перепишем выражение для А в виде: A=[f(x+x,y+y)-f(x+x,y)]-[f(x,y+y)-f(x,y)]

Аналогично предположенному полагаем, что A=f’’’_xy(dx,dy)xy  f’’’_yx (с_x,c_y)= f’’’_xy(dx,dy)  x,y0  с_x,dxx, c_y,dyy  f’’’_yx (x,y)=f’”_xy (x,y)

13. Производная обратной функции.

Если считать у аргументом, то х становится функцией от у(х=(у)) называемой обратной по отношению прямой функции у=f(x)

Аналитически обратная функция находится как корень уравнения f(x)=y.

Т. Если существует производная обратной функции ’(y)0, то производная прямой

функции находится по формуле:

f’’(x)=1/’(y) у=f(x)

29. Повторные пределы

Повторный предел - предел функции нескольких переменных, при котором предельный переход совершают последовательно по различным переменным.

43. Условный экстремум

Условный экстремум - минимальное или максимальное значение, достигаемое данной функцией (или функционалом) при условии, что некоторые другие функции (функционалы) принимают значения из заданного допустимого множества.

Классической задачей на У. э. является задача определения минимума функции многих переменных

3. Односторонние пределы. Существование предела в точке.

Число A' называется пределом слева функции f(x) в точке a:

A'=lim_xa-0 f(x)=f(a-0), если

|A' - f(x)| < ε при 0 < a - x < δ (ε).

Аналогично, число A" называется пределом справа функции f(x) в точке a:

A'=lim_xa+0 f(x)=f(a+0), если

|A" - f(x) |< ε при 0 < x - a < δ (ε).

Левосторонний и правосторонний пределы называются односторонними пределами.

Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы:

f (a - 0) = f(a + 0).