- •Преобразование Лапласа
- •Нахождение изображений
- •Теоремы подобия, смещения, запаздывания
- •Поиск изображения по графику оригинала
- •Отыскание оригинала по изображению
- •Дифференцирование оригиналов и изображений
- •Интегрирование оригиналов и изображений
- •Свертка функций
- •Решение дифференциальных уравнений
- •Решение систем дифференциальных уравнений
- •Решение интегральных уравнений
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
___________________________________________
Казанский государственный
энергетический университет
Кафедра «Высшей математики»
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Базовые конспекты лекций
Казань 2006
УДК 517.31
ББК 22.161.1
Элементы теории операционного исчисления. Казань: Каз. гос. энерг. ун-т, 2006.
Работа включает краткие теоретические сведения по теме «Операционное исчисление». Вводится преобразование Лапласа, доказываются теоремы подобия, смещения, запаздывания. Вычисляются изображения основных элементарных функций. Рассматриваются простые приемы отыскания оригинала по изображению и основные правила дифференцирования и интегрирования оригиналов и изображений.
Работа предназначена для первичного знакомства студентов с базовыми понятиями и основными моментами теории операционного исчисления.
Данный учебный материал по составу и объему соответствует программам технических специальностей университета по высшей математике. Он представлен в четкой, сжатой форме, даны исходные определения и доказательства основных теорем. Это опорные конспекты лекций, на основе которых преподаватели кафедры «Высшая математика» КГЭУ организуют свои лекционные курсы по данной теме.
Авторский коллектив: Арсланов Ф.Х. , Гарифьянов Ф.Н. , Гимадиев Р.Ш. , Григорян С.А., Желифонов М.П., Липачева Е.В., Никитин А.С., Хамзин А.А.
© Казанский государственный энергетический университет, 2006
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Преобразование Лапласа
Пусть функция f(t) обладает следующими свойствами: 10 f(t) 0 при t < 0 ; 20 | f(t)| < M при t > 0, где М > 0 , т.е. f(t) возрастает не быстрее некоторой экспоненты и s0 – показатель роста функции ; 30 На любом промежутке оси [a,b] выполняются условия Дирихле – функция кусочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов и точек разрыва I рода.
Такие функции наз. изображаемыми по Лапласу или оригиналами. Запишем интеграл
= F(p) ( 1 )
где p = s + iq - комплексная переменная. При s и F(p) 0 . При указанных условиях он сходится и наз. интегралом Лапласа, а функция F(p) наз. изображением оригинала. Переход от f(t) к F(p) наз. преобразованием Лапласа и обозначается f(t) =: F(p) или F(p) =: f(t). Для значения f(t) в точке разрыва t0 выбирают f(t0) = ½ [f(t0 - 0) + f(t0 + 0)] . При этих условиях между f(t) и F(p) существует взаимно – однозначное соответствие.
Смысл преобразования – многим операциям над оригиналом соответствуют более простые операции над изображением. Например, решение дифференциальных и интегральных уравнений может существенно упроститься.
Нахождение изображений
Вычислим изображение единичной функции и экспоненты
Пр.1 (t) = , (t) =: = = ,
Re p > 0
Пр.2 = , =: = = ,
Re p > a = s0
Свойство линейности. Т.к. интеграл от суммы функций равен сумме интегра-лов, то линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбина-ция изображений.
С1 f1(t) + С2 f2(t) =: С1 F1(p) + С2 F2(p)
Из формулы Эйлера eit = cos t + i sin t имеем соs t = ½(eit + e-it) , sin t = ½i(eit - e-it) и для оригиналов этих функций вычислим изображения
Пр.3 f(t) = cos t = ½(eit + e-it) =: ½ [] =
Пр.4 f(t) = sin t = ½i(eit - e-it) =: 1/2i [] =
Пр.5 f(t) = t =:==+= = . f(t) = t2 =: = = + += = . Аналогично имеем t3 =:, t4 =:, . . . и получаем tn =: .
Теоремы подобия, смещения, запаздывания
Теорема подобия. Дополнительное умножение аргумента t в оригинале на число а R, a > 0 приводит в изображении к уменьшению в а раз параметра p и самого изображения,
f(аt) =: F() . ( 2 )
Доказательство.
f(аt) =: = = =
= = = F()
Пр.6 sin at =: = ; cos at =: =
Теорема смещения. Переход в изображении от p к (p + z), где z комплексное число, причем Re (p + z) > s0 , приводит к дополнительному умножению оригинала на экспоненту e-zt
F(p + z) =: e-zt f(t) ( 3 )
Доказательство.
e-zt f(t) =: = = F(p + z)
Пр.7 ezt sin at =: ; ezt cos at =:
Теорема запаздывания. Уменьшение параметра t в оригинале на величину > 0 приводит к дополнительному умножению изображения на экспоненту
f(t -) (t-) =: F(p) ( 4 )
Доказательство.
f(t -) =: = +
+
Первый интеграл равен 0, т.к. (t-) = 0 при t < .
f(t -) =: = =
= = F(p)
Пр.8 (t - ) =: и (t – a)(t - а) =: с учетом Пр. 5 .