- •Тема 5. Наближення та інтерполяція функцій
- •2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа
- •3. Похибка інтерполяції многочленом Лагранжа
- •Інтерполяція многочленом Лагранжа з рівновіддаленими вузлами
- •Інтерполяційний многочлен Ньютона
- •5. Наближення функцій, заданих таблично, методом найменших квадратів
- •Алгоритм наближення функції, заданої таблично, методом найменших квадратів
- •Тема 6 Чисельне диференціювання й інтегрування
- •1. Наближення похідних
- •2. Похибка чисельного диференціювання
- •3. Чисельне інтегрування. Поняття про квадратурні формули.
- •4. Найпростіші квадратурні формули
- •1) Формули прямокутників
- •2) Формула трапецій
- •3) Формула Сімпсона (формула парабол)
- •5. Похибки квадратурних формул
- •6. Чисельне розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь
- •1) Метод Ейлера
- •2) Метод Рунге-Кутти
Тема 6 Чисельне диференціювання й інтегрування
1. Наближення похідних
Нагадаємо, що похідною функції називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при прямуванні до нуля:
, . (1)
Звичайно для обчислення похідних використовують готові формули (таблицю похідних) і до виразу (1) не вдаються. Але в чисельних розрахунках за допомогою комп’ютера використання формул з таблиці похідних не завжди зручно і можливо. Наприклад, якщо заданий явний вид функції, то вираз для похідної часто виявляється достатньо складним і бажано його замінити простішим. Якщо ж функція задана тільки своїми значеннями в деяких точках з відрізку (таблично), то одержати явний вид її похідних взагалі неможливо. У цих ситуаціях виникає необхідність наближеного (чисельного) диференціювання.
Проста ідея чисельного диференціювання полягає в тому, що функція на розглядуваному проміжку замінюється інтерполяційним многочленом і похідна функції наближено замінюється відповідною похідною інтерполяційного многочлена:
, . (2)
Аналогічно знаходять похідні вищих порядків:
, .
Залежно від форми інтерполяційного многочлена для функції , похідну від якої треба знайти, дістаємо різні формули чисельного диференціювання відповідно до наближеної рівності (2).
Нехай функція задана своїми значеннями в різних точках з відрізку , які позначимо , . Припустимо, що вузли рівновіддалені, тобто , , – крок. В цьому випадку функція може бути апроксимована інтерполяційним многочленом Ньютона:
, де .
Вважатимемо, що похідна від функції у будь-якій точці наближено дорівнює похідній від многочлена . Щоб знайти похідну многочлена , подамо його в іншому вигляді, а саме: запишемо за степенями кожний доданок.
Відомо, що
, (3)
де через позначено суму всіх можливих добутків натуральних чисел від 1 до по множників. Наприклад, при матимемо:
.
На основі (3) многочлен запишемо так:
.
Диференціюючи цей многочлен по змінній з урахуванням правила диференціювання складеної функції:
,
отримуємо формулу для обчислення похідної:
(4)
Рівність (4) – шукана формула чисельного диференціювання.
Вона значно спрощується для знаходження похідної в табличних точках . Наприклад, якщо , дістанемо такі формули:
,
або врахувавши вирази для скінченних різниць, подані через значення функції:
.
Якщо в таблиці функції задано її значення в достатній кількості вузлів, то, очевидно, кожне табличне значення можна вважати за початкове. Так, якщо , то формула (4) набере вигляду:
(5)
З формули (4) можна отримати формулу для обчислення похідних будь-якого порядку:
(6)
……………………………………………………………………………..
Кількість доданків в цих формулах залежить від кількості вузлів, які використовуються для обчислення похідної.
Приклад 1. Обчислити в точці першу і другу похідні функції, заданої таблицею:
-
0
1
2
3
4
5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1,2833
1,8107
2,3606
2,9577
3,5969
4,2833
Розв’язання. Побудуємо таблицю, в якій обчислимо скінченні різниці:
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1,2833 |
|
|
|
|
|
|
|
0,5274 |
|
|
|
|
0,1 |
1,8107 |
|
0,0325 |
|
|
|
|
|
0,5599 |
|
0,0047 |
|
|
0,2 |
2,3606 |
|
0,0372 |
|
0,0002 |
|
|
|
0,5971 |
|
0,0049 |
|
0,0000 |
0,3 |
2,9577 |
|
0,0421 |
|
0,0002 |
|
|
|
0,6392 |
|
0,0051 |
|
|
0,4 |
3,5969 |
|
0,0472 |
|
|
|
|
|
0,6864 |
|
|
|
|
0,5 |
4,2833 |
|
|
|
|
|
Оскільки четверті різниці практично сталі, покладемо . За умовою , . За формулою (4) одержимо:
.
За формулою (6) одержимо:
.
Інтерполяційний многочлен Ньютона дає вирази для похідних через скінченні різниці , . На практиці часто вигідніше виражати значення похідних не через скінченні різниці, а безпосередньо через значення функції у вузлах. для отримання таких формул зручно скористатися інтерполяційним многочленом Лагранжа з рівновіддаленими вузлами , тобто , , – крок.
Запишемо інтерполяційній многочлен Лагранжа і його залишковий член для випадку трьох вузлів інтерполяції ():
.
Диференціюючи ці многочлени по змінній , отримаємо наступні апроксимації похідних при , , :
,
;
,
де – значення похідної третього порядку в деякій внутрішній точці .
Записуючи інтерполяційній многочлен Лагранжа і його залишковий член для випадку чотирьох вузлів інтерполяції (), отримаємо наступні апроксимації похідних при , , , :
;
;
;
.
Приклад 2. Обчислити в точці першу похідну функції, заданої таблицею:
-
0
1
2
3
4
5
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
1,0000000
0,83333333
0,7142857
0,6250000
0,5555555
0,50000000
Розв’язання. За умовою , . Для випадку чотирьох вузлів інтерполяції (), отримаємо наступну апроксимацію першої похідної при , , , :
.