- •1. Матрицы. Сложение матриц и умножение матриц на число. Свойства операций сложения и умножения на число.
- •2. Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц. Транспонирование матриц. Свойства операций транспонирования.
- •3. Определители. Вычисление определителей.
- •7. Решение систем линейных уравнений методом полного исключения. Преобразования Жордана-Гаусса.
- •6. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
- •4. Основные свойства определителей
- •9. Понятие вектора. Линейные операции над векторами, их свойства. Теорема о коллинеарных векторах.
- •8. Решение системы линейных уравнений в матричной форме.
- •5. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы. Свойства обратной матрицы.
- •10.Проекция вектора на ось. Основные свойства проекции. Угол между векторами. Угол вектора с осью. Понятие базиса векторного пространства.
- •Действия над векторами, заданными своими координатами. Модуль вектора. Направляющие косинусы вектора. Координаты произвольного вектора в декартовой системе координат.
- •Скалярное произведение двух векторов, свойства скалярного произведения. Условия ортогональности и коллениарности двух векторов.
- •Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Исследование общего уравнения прямой.
- •Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно данному вектору. Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки. Параметрические уравнения прямой.
- •Угол между плоскостями. Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Каноническое уравнение прямой в пространстве. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки пространства. Параметрические уравнения прямой.
- •Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Исследование общего уравнения плоскости.
- •Эллипс. Вывод канонического уравнения эллипса.
- •Гипербола. Вывод канонического уравнения гиперболы.
- •Исследование формы гиперболы по его каноническому уравнению. Асимптоты гиперболы.
- •Статическая модель линейной многоотраслевой экономики Леонтьева. Продуктивность модели.
- •Модель равновесных цен. Балансовая модель, двойственная к модели Леонтьева.
-
Эллипс. Вывод канонического уравнения эллипса.
-
Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
2) Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса. Т.к. MF1 + MF2 = 2a
Т.к. То получаем Или
-
Гипербола. Вывод канонического уравнения гиперболы.
1)Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
2) Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF1 – MF2|=2a или MF1 – MF2 =±2a,
-
Исследование формы гиперболы по его каноническому уравнению. Асимптоты гиперболы.
-
Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением.
1. Уравнение (11.9) содержит х и у только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О(0;0), которую называют центром гиперболы.
2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив у = 0 в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью Ox: и . Положив х = 0 в (11.9), получаем , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает. Точки и называются вершинами гиперболы, а отрезок — действительной осью, отрезок -действительной полуосью гиперболы. Отрезок , соединяющий точки и называется мнимой осью, число b — мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2а и 2Ь называется основным прямоугольником гиперболы. .
3. Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое не меньше единицы, т. е. что или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой х = —а (левая ветвь гиперболы).
4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда возрастает, то и \у\ возрастает. Это следует из того,что разность сохраняет постоянное значение, равное единице. Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 32 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).
2) Асимптоты гиперболы имеют уравнения . Эти прямые не пересекают гиперболу
23. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы. Исследование формы параболы.
Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.
Пусть M(x;y) – произвольная точка M с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению MF=MN.
-
парабола проходит через начало координат, т.к. координаты начала координат удовлетворяют уравнению параболы.
-
парабола симметрична относительно оси ОХ, т.к. точки с координатами (x, y) и (x, − y) удовлетворяют уравнению параболы.
-
если р > 0, то ветви параболы направлены вправо и парабола находится в правой полуплоскости, p<0 то в левой.